Можешь решить задачи по такому типу написания:Дано, найти, решение
Краткие ответы
- Сила увеличится в 64 раза.
- \(F \approx \mathbf{0{,}10\ нН}\).
- \(h=\mathbf{6400\ км}\).
- \(v_1\approx\mathbf{5{,}6\ км/с}\).
- Сила увеличится в 3 раза: \(F'=3F\).
Основная формула закона всемирного тяготения:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]
1. Изменение силы притяжения
Дано:
\[ m_1=m_2=m,\qquad r; \]
\[ m_1'=m_2'=4m,\qquad r'=\frac r2. \]
Найти:
\[ \frac{F'}{F}. \]
Решение:
Первоначальная сила:
\[ F=G\frac{m^2}{r^2}. \]
Новая сила:
\[ F'=G\frac{(4m)(4m)}{(r/2)^2}. \]
Тогда:
\[ \frac{F'}{F} = \frac{G\frac{16m^2}{r^2/4}}{G\frac{m^2}{r^2}} =16\cdot4=64. \]
Ответ: сила притяжения увеличится в 64 раза.
2. Сила притяжения двух тел
Дано:
\[ m_1=2\ кг,\qquad m_2=3\ кг, \]
\[ r=2\ м,\qquad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \]
Найти:
\[ F. \]
Решение:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \]
Подставим значения:
\[ F=6{,}67\cdot10^{-11} \cdot\frac{2\cdot3}{2^2}. \]
\[ F=1{,}0005\cdot10^{-10}\ Н. \]
Так как
\[ 1\ нН=10^{-9}\ Н, \]
то
\[ F=0{,}10005\ нН\approx0{,}10\ нН. \]
Ответ: \(\boxed{0{,}10\ нН}\).
3. Высота, на которой \(g\) уменьшится в 4 раза
Дано:
\[ R=6400\ км, \]
\[ g_h=\frac{g_0}{4}. \]
Найти:
\[ h. \]
Решение:
Ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) от центра Земли:
\[ g=\frac{GM}{r^2}. \]
На поверхности Земли:
\[ g_0=\frac{GM}{R^2}. \]
На высоте \(h\):
\[ g_h=\frac{GM}{(R+h)^2}. \]
По условию:
\[ \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac14\cdot\frac{GM}{R^2}. \]
Отсюда:
\[ (R+h)^2=4R^2, \]
\[ R+h=2R, \]
\[ h=R. \]
Следовательно:
\[ h=6400\ км. \]
Проверка:
\[ g_h=\frac{GM}{(2R)^2}=\frac{g_0}{4}. \]
Ответ: \(\boxed{6400\ км}\).
4. Первая космическая скорость
Дано:
\[ M=M_{\text{Земли}}, \]
\[ R=2R_{\text{Земли}}, \]
\[ v_{\text{Земли}}\approx7{,}9\ км/с. \]
Найти:
\[ v. \]
Решение:
Первая космическая скорость определяется формулой:
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R}}. \]
Масса планеты не изменилась, а радиус увеличился в 2 раза, поэтому:
\[ v=\frac{v_{\text{Земли}}}{\sqrt2}. \]
\[ v=\frac{7{,}9}{\sqrt2}\approx5{,}6\ км/с. \]
Ответ: \(\boxed{5{,}6\ км/с}\).
5. Замена одного шарика
Дано:
Первоначально:
\[ m_1=m_2=m,\qquad r=R. \]
После замены:
\[ m_1=m,\qquad m_2'=3m,\qquad r=R. \]
Найти:
\[ F'. \]
Решение:
Первоначальная сила:
\[ F=G\frac{m^2}{R^2}. \]
После замены одного шарика:
\[ F'=G\frac{m\cdot3m}{R^2}. \]
\[ F'=3G\frac{m^2}{R^2}=3F. \]
Ответ: сила притяжения увеличится в 3 раза:
\[ \boxed{F'=3F}. \]
