Можешь решить задачи, написать в виде:дано, найти решение
Краткие ответы:
- Сила притяжения увеличится в 64 раза.
- \(F \approx 0{,}10\ \text{нН}\).
- \(h=6400\ \text{км}\).
- \(v_1\approx 5{,}6\ \text{км/с}\).
- Сила станет \(3\) раза больше:
\[ F= \frac{3Gm^2}{R^2}. \]
1. Изменение силы притяжения
Дано:
\[ m_1'=4m_1,\qquad m_2'=4m_2,\qquad r'=\frac r2 \]
Найти:
\[
\frac{F'}F
\]
Решение:
По закону всемирного тяготения:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]
Новая сила:
\[ F'=G\frac{(4m_1)(4m_2)}{(r/2)^2} \]
Сравним силы:
\[ \frac{F'}F= \frac{4\cdot4}{(1/2)^2} =\frac{16}{1/4}=64 \]
Ответ: сила гравитационного притяжения увеличится в 64 раза.
2. Сила притяжения двух тел
Дано:
\[ m_1=2\ \text{кг},\qquad m_2=3\ \text{кг} \]
\[ r=2\ \text{м},\qquad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \]
Найти:
\[ F \]
Решение:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]
Подставим значения:
\[ F=6{,}67\cdot10^{-11} \cdot\frac{2\cdot3}{2^2} \]
\[ F=1{,}0005\cdot10^{-10}\ \text{Н} \]
Так как
\[ 1\ \text{нН}=10^{-9}\ \text{Н}, \]
то
\[ F=0{,}10005\ \text{нН}\approx0{,}10\ \text{нН} \]
Ответ:
\[ \boxed{F\approx0{,}10\ \text{нН}} \]
Проверка: \(0{,}10\ \text{нН}=1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{Н}\).
3. Высота, на которой ускорение уменьшится в 4 раза
Дано:
\[ R=6400\ \text{км} \]
\[ g_h=\frac{g_0}{4} \]
Найти:
\[ h \]
Решение:
У поверхности Земли:
\[ g_0=\frac{GM}{R^2} \]
На высоте \(h\):
\[ g_h=\frac{GM}{(R+h)^2} \]
По условию:
\[ \frac{GM}{(R+h)^2} =\frac14\cdot\frac{GM}{R^2} \]
Сократим \(GM\):
\[ \frac{1}{(R+h)^2}=\frac{1}{4R^2} \]
Следовательно:
\[ (R+h)^2=4R^2 \]
\[ R+h=2R \]
\[ h=R \]
\[ h=6400\ \text{км} \]
Ответ:
\[ \boxed{h=6400\ \text{км}} \]
Проверка: на расстоянии \(2R\) от центра Земли ускорение уменьшается в \(2^2=4\) раза.
4. Первая космическая скорость
Дано:
\[ M_{\text{пл}}=M_{\text{З}} \]
\[ R_{\text{пл}}=2R_{\text{З}} \]
\[ v_{\text{З}}=7{,}9\ \text{км/с} \]
Найти:
\[ v_{\text{пл}} \]
Решение:
Первая космическая скорость определяется формулой:
\[ v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}} \]
Масса планеты такая же, как у Земли, а радиус в 2 раза больше:
\[ v_{\text{пл}} =\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{2R_{\text{З}}}} =\frac{v_{\text{З}}}{\sqrt2} \]
\[ v_{\text{пл}}=\frac{7{,}9}{\sqrt2} \approx5{,}6\ \text{км/с} \]
Ответ:
\[ \boxed{v_{\text{пл}}\approx5{,}6\ \text{км/с}} \]
5. Замена одного шарика
Дано:
\[ m_1=m,\qquad m_2=m,\qquad r=R \]
После замены:
\[ m_1=m,\qquad m_2=3m \]
Найти:
\[ F \]
Решение:
По закону всемирного тяготения:
\[ F=G\frac{m_1m_2}{R^2} \]
После замены одного шарика:
\[ F=G\frac{m\cdot3m}{R^2} \]
\[ F=\frac{3Gm^2}{R^2} \]
Первоначальная сила была:
\[ F_0=\frac{Gm^2}{R^2} \]
Значит:
\[ F=3F_0 \]
Ответ:
\[ \boxed{F=\frac{3Gm^2}{R^2}} \]
Сила притяжения увеличится в 3 раза.
