Сделай с решением дано ответов
Краткие ответы:
- \(207{,}23\) млн рублей.
- \(85\) тыс. рублей.
- \(r=10\%\).
- Выгоднее первый вариант, разница — \(440\) рублей.
- Всего будет выплачено \(169\,400\) рублей.
Правило: увеличение на \(p\%\) означает умножение на \(1+\dfrac p{100}\). Пополнение в начале года сначала прибавляется, а затем на всю сумму начисляются проценты.
1. Вклад 120 млн рублей
Дано:
\[ S_0=120\text{ млн руб.},\qquad p=15\%,\qquad \text{пополнение }10\text{ млн руб.} \]
Решение:
За первый год вклад увеличился на \(15\%\):
\[ 120\cdot1{,}15=138\text{ млн руб.} \]
В начале второго года добавили \(10\) млн рублей:
\[ 138+10=148\text{ млн руб.} \]
К концу второго года:
\[ 148\cdot1{,}15=170{,}2\text{ млн руб.} \]
В начале третьего года снова добавили \(10\) млн рублей:
\[ 170{,}2+10=180{,}2\text{ млн руб.} \]
К концу третьего года:
\[ 180{,}2\cdot1{,}15=207{,}23\text{ млн руб.} \]
Ответ:
\[ \boxed{207{,}23\text{ млн рублей}} \]
2. Определение первоначального вклада
Дано:
\[ p=20\%,\qquad \text{пополнение }10\text{ тыс. руб.} \]
Пусть первоначальный вклад равен \(x\) тысяч рублей.
Решение:
К концу первого года:
\[ 1{,}2x \]
В начале второго года добавили \(10\) тысяч рублей, затем начислили проценты:
\[ (1{,}2x+10)\cdot1{,}2 \]
В начале третьего года добавили ещё \(10\) тысяч рублей:
\[ \bigl((1{,}2x+10)\cdot1{,}2+10\bigr)\cdot1{,}2=173{,}28 \]
Раскроем скобки:
\[ 1{,}728x+26{,}4=173{,}28 \]
\[ 1{,}728x=146{,}88 \]
\[ x=85 \]
Проверка:
\[ 85\cdot1{,}2=102, \]
\[ (102+10)\cdot1{,}2=134{,}4, \]
\[ (134{,}4+10)\cdot1{,}2=173{,}28. \]
Ответ:
\[ \boxed{85\text{ тыс. рублей}} \]
3. Определение процентной ставки
Дано:
\[ S_0=500\text{ тыс. руб.},\qquad S=665{,}5\text{ тыс. руб.} \]
Решение:
Пусть ежегодный множитель равен \(1+\dfrac r{100}\). Тогда:
\[ 500\left(1+\frac r{100}\right)^3=665{,}5 \]
Разделим на \(500\):
\[ \left(1+\frac r{100}\right)^3=1{,}331 \]
Так как
\[ 1{,}1^3=1{,}331, \]
то
\[ 1+\frac r{100}=1{,}1. \]
Следовательно,
\[ \frac r{100}=0{,}1,\qquad r=10\%. \]
Ответ:
\[ \boxed{10\%} \]
4. Сравнение двух вариантов вклада
Дано:
\[ S_0=1000\text{ тыс. руб.}=1\,000\,000\text{ руб.} \]
Первый вариант
Ставка каждый год — \(10\%\):
\[ S_1=1\,000\,000\cdot1{,}1^3 \]
\[ S_1=1\,331\,000\text{ руб.} \]
Второй вариант
Ставки по годам:
\[ 8\%,\quad 10\%,\quad 12\%. \]
Тогда:
\[ S_2=1\,000\,000\cdot1{,}08\cdot1{,}10\cdot1{,}12 \]
\[ S_2=1\,330\,560\text{ руб.} \]
Сравним суммы:
\[ 1\,331\,000-1\,330\,560=440\text{ руб.} \]
Значит, больше сумма будет при первом варианте.
Ответ:
\[ \boxed{\text{выгоднее первый вариант, разница }440\text{ рублей}} \]
5. Кредит с двумя равными платежами
Дано:
\[ S_0=147\,000\text{ руб.},\qquad p=10\%. \]
Пусть каждый платёж равен \(x\) рублей.
Решение:
В январе 2021 года долг увеличился на \(10\%\):
\[ 147\,000\cdot1{,}1=161\,700\text{ руб.} \]
После первого платежа остаток долга составит:
\[ 161\,700-x. \]
В январе 2022 года этот остаток снова увеличится на \(10\%\):
\[ 1{,}1(161\,700-x). \]
Второй платёж полностью погашает долг, поэтому:
\[ 1{,}1(161\,700-x)=x. \]
Решим уравнение:
\[ 177\,870-1{,}1x=x, \]
\[ 2{,}1x=177\,870, \]
\[ x=84\,700\text{ руб.} \]
Всего выплачено двумя платежами:
\[ 2\cdot84\,700=169\,400\text{ руб.} \]
Ответ:
\[ \boxed{169\,400\text{ рублей}} \]
