Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{x=2,\quad y=0,\quad z=-3} \]

По изображению дана система: \[ \begin{cases} 4x+y+2z=2,\\ 2x+5y+z=1,\\ x+6y-3z=11. \end{cases} \]

1. Главный определитель

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 4&1&2\\ 2&5&1\\ 1&6&-3 \end{vmatrix} \]

Разложим по первой строке:

\[ \Delta= 4\begin{vmatrix}5&1\\6&-3\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}2&1\\1&-3\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix}2&5\\1&6\end{vmatrix} \]

\[ \Delta=4(-15-6)-(-6-1)+2(12-5) \]

\[ \Delta=4(-21)+7+14=-84+7+14=-63. \]

Так как \(\Delta\ne0\), система имеет единственное решение.

2. Определители для неизвестных

\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 2&1&2\\ 1&5&1\\ 11&6&-3 \end{vmatrix} =-126, \]

\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 4&2&2\\ 2&1&1\\ 1&11&-3 \end{vmatrix} =0, \]

\[ \Delta_z= \begin{vmatrix} 4&1&2\\ 2&5&1\\ 1&6&11 \end{vmatrix} =189. \]

По формулам Крамера:

\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-126}{-63}=2, \]

\[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{0}{-63}=0, \]

\[ z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{189}{-63}=-3. \]

Проверка

\[ 4\cdot2+0+2\cdot(-3)=8-6=2, \]

\[ 2\cdot2+5\cdot0-3=1, \]

\[ 2+6\cdot0-3\cdot(-3)=2+9=11. \]

Все равенства верны.