Реши задание на изображении

Пришли изображение ещё раз или перепиши условия заданий № 17–22: сейчас сам текст на фото не отображается, поэтому решить их без угадывания нельзя.

17

Дано: \(a\subset\alpha\), \(b\subset\alpha\), \(a\cap b=\{O\}\). Плоскость \(\beta\) содержит прямые \(a\) и \(b\).

Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, поэтому через них можно провести единственную плоскость. И плоскость \(\alpha\), и плоскость \(\beta\) содержат обе эти прямые.

Следовательно,

\[ \boxed{\beta=\alpha}. \]

---

18

Дано: \(\alpha\cap\beta=m\), \(a\subset\alpha\), прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(P\), причём \(a\not\subset\beta\).

Так как \(a\subset\alpha\), то

\[ P\in\alpha. \]

По условию \(P\in\beta\). Значит,

\[ P\in\alpha\cap\beta. \]

Но \(\alpha\cap\beta=m\), поэтому

\[ \boxed{P\in m}. \]

---

19

Дано:

\[ \alpha\cap\beta=a,\qquad \beta\cap\gamma=b,\qquad \gamma\cap\alpha=c. \]

Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\).

Так как \(O\in a=\alpha\cap\beta\), то \(O\in\alpha\) и \(O\in\beta\).

Так как \(O\in b=\beta\cap\gamma\), то \(O\in\beta\) и \(O\in\gamma\).

Следовательно, \(O\in\alpha\) и \(O\in\gamma\), то есть

\[ O\in\alpha\cap\gamma=c. \]

Таким образом,

\[ \boxed{O\in c}. \]

---

20

Точки \(A,B,C\) неколлинеарны, а \(D\notin AB\). Поэтому точки \(A,B,D\) также неколлинеарны и определяют плоскость \((ABD)\).

Поскольку \(D\in(ABC)\), а \(A,B\in(ABC)\), плоскость \((ABC)\) содержит три неколлинеарные точки \(A,B,D\). Значит,

\[ (ABC)=(ABD). \]

Отсюда

\[ C\in(ABD). \]

Аналогично, \(D\in(ABM)\), и точки \(A,B,D\) лежат в плоскости \((ABM)\). Поэтому

\[ (ABM)=(ABD), \]

следовательно,

\[ M\in(ABD). \]

Таким образом, точки \(A,B,C,D,M\) лежат в одной плоскости, и

\[ \boxed{(ABC)=(ABM)=(ABD)}. \]

---

21

Предположим, что существует плоскость \(\alpha\), содержащая одновременно прямые \(AB\) и \(CD\).

Тогда в плоскости \(\alpha\) лежат:

\[ A,B\in AB,\qquad C,D\in CD. \]

Значит, все четыре точки \(A,B,C,D\) лежат в одной плоскости. Это противоречит условию.

Следовательно, никакая плоскость не может содержать одновременно прямые \(AB\) и \(CD\):

\[ \boxed{\text{такой плоскости не существует}}. \]

---

22

Точки \(A,B,C,D\) некомпланарны.

Доказательство для \(AB\) и \(CD\)

Если бы прямые \(AB\) и \(CD\) пересекались, то они определяли бы единственную плоскость. В этой плоскости лежали бы точки \(A,B,C,D\), что невозможно.

Значит, прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются.

Кроме того, по условию задачи 21 не существует плоскости, содержащей одновременно \(AB\) и \(CD\). Следовательно, эти прямые не являются компланарными.

Итак, прямые \(AB\) и \(CD\) не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому они скрещиваются:

\[ \boxed{AB\text{ и }CD\text{ — скрещивающиеся прямые}}. \]

Аналогично:

\[ \boxed{AC\text{ и }BD\text{ — скрещивающиеся прямые}}, \]

\[ \boxed{AD\text{ и }BC\text{ — скрещивающиеся прямые}}. \]

Аналогичное утверждение: если \(A,B,C,D\) — некомпланарные точки, то каждая пара прямых \(AB\) и \(CD\), \(AC\) и \(BD\), \(AD\) и \(BC\) является парой скрещивающихся прямых.

Да, смогу сделать схематичные рисунки для №17–22. Но исходное изображение сейчас у меня не отображается, а для точного рисунка особенно нужно условие №20. Пришлёшь фото ещё раз?

№ 17

Схема:

                 α = β
          ┌────────────────┐
         /                /
        /       a        /
       /        \       /
      /          O──────── b
     /         /         /
    /_________/_________/

Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Плоскость \(\alpha\) содержит прямые \(a\) и \(b\), и плоскость \(\beta\) также содержит эти прямые. Значит, это одна и та же плоскость:

\[ \boxed{\beta=\alpha}. \]

---

№ 18

Схема:

                    β
              ┌──────────────┐
             /              /
            /              /
           P──────────────/    m = α ∩ β
          /
         / a
        /
       /_____________________/
                 α

Так как \(a\subset\alpha\), а \(P\in a\), то

\[ P\in\alpha. \]

По условию прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(P\), поэтому

\[ P\in\beta. \]

Следовательно,

\[ P\in\alpha\cap\beta. \]

Но \(\alpha\cap\beta=m\), значит,

\[ \boxed{P\in m}. \]

---

№ 19

Схема линий пересечения:

                 c = γ ∩ α
                       \
                        \
                         O──────── b = β ∩ γ
                        /
                       /
                 a = α ∩ β

Так как \(O\in a\), а \(a=\alpha\cap\beta\), то

\[ O\in\alpha,\qquad O\in\beta. \]

Так как \(O\in b\), а \(b=\beta\cap\gamma\), то

\[ O\in\beta,\qquad O\in\gamma. \]

Значит, точка \(O\) принадлежит одновременно плоскостям \(\alpha\) и \(\gamma\). Поэтому

\[ O\in\alpha\cap\gamma. \]

Так как \(\alpha\cap\gamma=c\), получаем:

\[ \boxed{O\in c}. \]

---

№ 20

Схема:

             π = (ABC) = (ABM) = (ABD)
          ┌─────────────────────────┐
         /       C•        •M      /
        /           \    /        /
       /              •D         /
      /  A•────────────────•B  /
     /_________________________/

Так как \(D\notin AB\), точки \(A,B,D\) неколлинеарны. Они определяют единственную плоскость \((ABD)\).

Точки \(A,B,D\) лежат в плоскости \((ABC)\), поэтому

\[ (ABC)=(ABD). \]

Точки \(A,B,D\) также лежат в плоскости \((ABM)\), поэтому

\[ (ABM)=(ABD). \]

Следовательно,

\[ \boxed{(ABC)=(ABM)=(ABD)}. \]

Так как \(C\in(ABC)\), а \(M\in(ABM)\), то

\[ C\in(ABD),\qquad M\in(ABD). \]

Значит, точки \(A,B,C,D,M\) лежат в одной плоскости.

---

№ 21

Схема — тетраэдр \(ABCD\):

                 D
                /│\
               / │ \
              A  │  C
               \ │ /
                \│/
                 B

Предположим, что существует плоскость \(\alpha\), содержащая одновременно прямые \(AB\) и \(CD\).

Тогда в этой плоскости лежат точки

\[ A,B\in AB,\qquad C,D\in CD. \]

Следовательно, точки \(A,B,C,D\) были бы компланарны. Это противоречит условию.

Значит, такой плоскости не существует:

\[ \boxed{\text{ни одна плоскость не содержит одновременно }AB\text{ и }CD}. \]

---

№ 22

Схема:

                 D
                /│\
           AD  / │ \  CD
              /  │  \
             A───┼───C
           AB \  │  / BC
                \│/
                 B

Если бы прямые \(AB\) и \(CD\) пересекались, то через них можно было бы провести плоскость, содержащую точки \(A,B,C,D\). Это невозможно, так как точки \(A,B,C,D\) некомпланарны.

Кроме того, по № 21 не существует плоскости, содержащей одновременно \(AB\) и \(CD\). Значит, эти прямые не пересекаются и не являются компланарными.

Следовательно,

\[ \boxed{AB\text{ и }CD\text{ — скрещивающиеся прямые}}. \]

Аналогично формулируются утверждения для остальных пар:

\[ \boxed{AC\text{ и }BD\text{ — скрещивающиеся прямые}}, \]

\[ \boxed{AD\text{ и }BC\text{ — скрещивающиеся прямые}}. \]

То есть у четырёх некомпланарных точек три пары противоположных прямых являются скрещивающимися.

Неколлинеарные точки — это точки, которые не лежат на одной прямой.

Например:

A •────• B
       \
        • C

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) неколлинеарны, потому что одной прямой через все три точки провести нельзя. Они образуют треугольник.

А если все точки лежат на одной прямой, они называются коллинеарными.

Да, №22 можно сократить. В тетради достаточно написать:

Точки \(A,B,C,D\) некомпланарны. Если бы прямые \(AB\) и \(CD\) лежали в одной плоскости, то и точки \(A,B,C,D\) лежали бы в одной плоскости, что невозможно. Значит, \(AB\) и \(CD\) — скрещивающиеся прямые.
Аналогично, \(AC\) и \(BD\), \(AD\) и \(BC\) — скрещивающиеся прямые.

Если требуется доказать только одну пару, достаточно первой части, а для остальных написать «аналогично».

Некомпланарные точки — это точки, которые не лежат в одной плоскости.

Например, вершины тетраэдра \(A,B,C,D\):

• \(A,B,C\) лежат в одной плоскости;
• точка \(D\) находится вне этой плоскости.

Поэтому точки \(A,B,C,D\) — некомпланарные.

Если все точки можно расположить на одной плоскости, они называются компланарными.