Реши задание на изображении

Краткий ответ: все равенства на фото верны. Используются вынесение общего множителя и формула квадрата разности.

На фото читаются такие тождества:

1. Четвёртые корни

\[ \sqrt[4]{x^3}+\sqrt{x} =\sqrt{x}\left(1+\sqrt[4]{x}\right). \]

Так как

\[ \sqrt[4]{x^3}=\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}, \]

то

\[ \sqrt[4]{x^3}+\sqrt{x} =\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}+\sqrt{x} =\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right). \]

2. Кубические корни

\[ \sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2} =\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right). \]

Действительно,

\[ \sqrt[3]{a^2b}=\sqrt[3]{ab}\cdot\sqrt[3]{a}, \]

\[ \sqrt[3]{ab^2}=\sqrt[3]{ab}\cdot\sqrt[3]{b}. \]

Выносим общий множитель \(\sqrt[3]{ab}\):

\[ \sqrt[3]{ab}\cdot\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{ab}\cdot\sqrt[3]{b} =\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right). \]

3. Квадрат разности

\[ a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2. \]

Проверим раскрытием скобок:

\[ (\sqrt a-\sqrt b)^2 =a-2\sqrt a\sqrt b+b =a-2\sqrt{ab}+b. \]

4. Вынесение общего множителя

\[ a\sqrt b+b\sqrt a =\sqrt{ab}\left(\sqrt a+\sqrt b\right). \]

Поскольку

\[ a\sqrt b=\sqrt{ab}\cdot\sqrt a, \qquad b\sqrt a=\sqrt{ab}\cdot\sqrt b, \]

получаем

\[ a\sqrt b+b\sqrt a =\sqrt{ab}\sqrt a+\sqrt{ab}\sqrt b =\sqrt{ab}\left(\sqrt a+\sqrt b\right). \]

Проверка: раскрытие скобок в каждом равенстве возвращает левую часть. Для выражений с квадратными корнями предполагается \(a,b,x\ge 0\).