С 16

Конечно. Разберём по шагам.

Для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии используем формулу:

\[ S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}, \]

где \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии.

а)

\[ b_1=3,\quad q=5,\quad n=4. \]

\[ S_4=3\cdot\frac{5^4-1}{5-1} =3\cdot\frac{625-1}{4} =3\cdot156=468. \]

Ответ: \(468\).

б)

\[ b_1=16,\quad q=\frac12,\quad n=6. \]

Члены прогрессии:

\[ 16;\ 8;\ 4;\ 2;\ 1;\ \frac12. \]

Складываем:

\[ S_6=16+8+4+2+1+\frac12 =\frac{63}{2}=31{,}5. \]

Ответ: \(\frac{63}{2}\).

в)

Дано:

\[ b_1=-2,\qquad b_6=-486. \]

Формула члена прогрессии:

\[ b_6=b_1q^5. \]

Подставим:

\[ -486=-2q^5. \]

Делим на \(-2\):

\[ q^5=243=3^5, \]

значит,

\[ q=3. \]

Теперь найдём сумму:

\[ S_6=-2\cdot\frac{3^6-1}{3-1} =-2\cdot\frac{729-1}{2} =-728. \]

Ответ: \(-728\).

11

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S=\frac{b_1}{1-q}. \]

\[ S=\frac{8}{1-\frac12} =\frac{8}{\frac12}=16. \]

Ответ: \(16\).

12

Прогрессия:

\[ 12;\ 4;\ \frac43;\ldots \]

Знаменатель:

\[ q=\frac4{12}=\frac13. \]

\[ S=\frac{12}{1-\frac13} =\frac{12}{\frac23}=18. \]

Ответ: \(18\).

13

а)

\[ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{36}{24}=\frac32. \]

Ответ: \(q=\frac32\).

б)

\[ b_7=b_5q^2. \]

\[ 144=36q^2, \qquad q^2=4, \qquad q=2. \]

Тогда

\[ b_6=b_5q=36\cdot2=72. \]

Ответ: \(b_6=72\).

в)

\[ b_8=b_6q^2. \]

\[ q^2=\frac{b_8}{b_6} =\frac{\frac1{4374}}{\frac1{486}} =\frac19, \qquad q=\frac13. \]

\[ b_7=b_6q=\frac1{486}\cdot\frac13 =\frac1{1458}. \]

Ответ: \(b_7=\frac1{1458}\).

14

\[ S=\frac{b_1}{1-q}. \]

\[ 150=\frac{b_1}{1-\frac13}. \]

\[ b_1=150\left(1-\frac13\right) =150\cdot\frac23=100. \]

Ответ: \(b_1=100\).

15

\[ S=\frac{b_1}{1-q}. \]

\[ 16=\frac{\frac14}{1-q}. \]

\[ 1-q=\frac{\frac14}{16}=\frac1{64}. \]

\[ q=1-\frac1{64}=\frac{63}{64}. \]

Ответ: \(q=\frac{63}{64}\).

Примечание: в заданиях 13б и 13в обычно берут положительный знаменатель прогрессии. Если допускается отрицательный знаменатель, возможны также \(b_6=-72\) и \(b_7=-\frac1{1458}\).