Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Разложим левую часть на множители. Нужно найти два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(-5\).
Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появляется из чисел \(2\) и \(3\) — это исходная неизвестная из уравнения. Мы просто представляем многочлен в виде произведения двух скобок:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Почему именно так? Раскроем скобки:
\[ (x-2)(x-3) =x\cdot x-3x-2x+6 =x^2-5x+6. \]
То есть:
- \(x\cdot x=x^2\);
- \(-3x-2x=-5x\);
- \((-2)\cdot(-3)=6\).
Поэтому уравнение можно записать так:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
