Реши номер 2 подробно с дано и рисунком
Краткий ответ:
\[
\boxed{\angle BA_1D=\angle BC_1D}.
\]
Рисунок
Схема не в масштабе:
B
/ | \
/ | \
A₁ ─────── A ─────── O ─────── C ─────── C₁
\ | /
\ | /
D
Здесь \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\).
Дано
\(ABCD\) — параллелограмм;
точки \(A_1,A,O,C,C_1\) лежат на одной прямой;
\(A_1\) и \(C_1\) лежат на продолжениях диагонали \(AC\);
\[
AA_1=CC_1.
\]
Доказать
\[ \angle BA_1D=\angle BC_1D. \]
Доказательство
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ OA=OC,\qquad OB=OD. \]
- Так как точки расположены в порядке \(A_1-A-O-C-C_1\), то
\[ OA_1=OA+AA_1, \] а \[ OC_1=OC+CC_1. \]
По условию \(AA_1=CC_1\), а \(OA=OC\). Следовательно,
\[ OA_1=OC_1. \]
Значит, \(O\) — середина отрезка \(A_1C_1\). Также \(O\) — середина отрезка \(BD\).
- В четырёхугольнике \(A_1BC_1D\) диагонали \(A_1C_1\) и \(BD\) делятся пополам. Следовательно, \(A_1BC_1D\) — параллелограмм.
Поэтому его противоположные стороны равны:
\[ A_1B=C_1D,\qquad A_1D=C_1B. \]
Кроме того,
\[ BD=DB. \]
- Рассмотрим треугольники
\[ \triangle BA_1D \quad\text{и}\quad \triangle DC_1B. \]
У них:
\[ A_1B=C_1D, \] \[ A_1D=C_1B, \] \[ BD=DB. \]
Значит, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны:
\[ \angle BA_1D=\angle DC_1B. \]
Но \(\angle DC_1B\) и \(\angle BC_1D\) — это один и тот же угол между лучами \(C_1D\) и \(C_1B\). Следовательно,
\[ \boxed{\angle BA_1D=\angle BC_1D}. \]
Принцип: относительно точки \(O\) фигура обладает центральной симметрией: \(A_1\) переходит в \(C_1\), а \(B\) — в \(D\). Центральная симметрия сохраняет величину углов.
Обсуждение
4 сообщениянарисуй более понятнее рисунок
Вот более понятный схематичный рисунок (не в масштабе):
B
╱ │ ╲
╱ │ ╲
╱ │ ╲
╱ │ ╲
A₁ ─────────── A ──── O ──── C ─────────── C₁
╲ ╱ │ ╲ ╱
╲ ╱ │ ╲ ╱
╲ ╱ │ ╲ ╱
D
- \(A_1,A,O,C,C_1\) лежат на одной прямой.
- \(B,O,D\) лежат на другой прямой.
- \(ABCD\) — внутренний параллелограмм.
- \(A_1BC_1D\) — внешний параллелограмм.
- \(O\) — середина отрезков \(A_1C_1\) и \(BD\).
- Нужно сравнить углы: \[ \angle BA_1D \quad\text{и}\quad \angle BC_1D. \]
другой рисунок
Конечно. Вот другой, более простой вариант рисунка (схема не в масштабе):
B
╱ │ ╲
╱ │ ╲
╱ │ ╲
╱ │ ╲
A₁ ─────────────── A ──────── O ──────── C ─────────────── C₁
╲ │ ╱
╲ │ ╱
╲ │ ╱
╲ │ ╱
D
Здесь:
- \(A_1,A,O,C,C_1\) лежат на одной прямой;
- \(B,O,D\) лежат на другой прямой;
- \(ABCD\) — внутренний параллелограмм;
- \(A_1BC_1D\) — внешний параллелограмм;
- сравниваются углы \(\angle BA_1D\) и \(\angle BC_1D\).
