Реши номер 5.6 и дай понятное обьяснение, а то я не понимаю

Это продолжение задания № 5.6. Нуль функции — это такое значение \(x\), при котором \(y=0\).

1) \(y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}\)

Область определения:

\[ x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1. \]

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

\[ \sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1. \]

Значение \(x=-1\) не подходит, так как оно не входит в область определения.

Ответ: \(\boxed{x=1}\).

---

2) \(y=x\sqrt{x-1}\)

Область определения:

\[ x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1. \]

На этой области \(x\neq 0\), поэтому нулём может быть только корень:

\[ \sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1. \]

Ответ: \(\boxed{x=1}\).

---

3) \(y=|x|-x\)

Рассмотрим два случая.

Если \(x\ge 0\), то \(|x|=x\):

\[ y=x-x=0. \]

Значит, подходят все \(x\ge0\).

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\):

\[ y=-x-x=-2x\neq0. \]

Ответ: \(\boxed{x\in[0;+\infty)}\).

---

4) \(y=\{x\}\)

\(\{x\}\) — дробная часть числа. Она равна нулю только у целых чисел:

\[ \{x\}=0 \quad \text{при } x\in\mathbb Z. \]

Ответ: \(\boxed{x\in\mathbb Z}\) — все целые числа.

---

5) \(y=\mathbb D(x)\)

Функция Дирихле:

\[ \mathbb D(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q,\\ 0, & x\notin\mathbb Q. \end{cases} \]

Она равна нулю при иррациональных \(x\).

Ответ: \(\boxed{x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q}\) — все иррациональные числа.

Итог

\[ \boxed{1)\ x=1;\quad 2)\ x=1;\quad 3)\ x\in[0;+\infty);} \]

\[ \boxed{4)\ x\in\mathbb Z;\quad 5)\ x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.} \]

Область определения функции обозначают так:

\[ D(f)\quad\text{или}\quad D(y) \]

Читается: «дэ функции» или «дэ игрек». Это все допустимые значения \(x\).

Например, для

\[ y=\sqrt{x-1} \]

подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1. \]

Записываем:

\[ D(y)=[1;+\infty). \]

Также можно написать проще:

\[ \text{ОДЗ: } x\ge1, \]

где ОДЗ — область допустимых значений.

Извини, я не выделил ответы отдельно. Вот они:

Нули функций в № 5.6:

1. \(\boxed{x=1}\)
2. \(\boxed{x=1}\)
3. \(\boxed{x\in[0;+\infty)}\)
4. \(\boxed{x\in\mathbb Z}\)
5. \(\boxed{x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q}\)

А область определения обозначают \(D(y)\). Для первых двух функций:

\[ D(y)=[1;+\infty). \]

Конечно. Повторю решение № 5.6 подробно и понятно.

Нуль функции — это такое значение \(x\), при котором \(y=0\).

---

1) \(y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}\)

Сначала найдём область определения:

\[ x-1\ge 0,\qquad x+1\ge 0. \]

Отсюда:

\[ x\ge1. \]

Произведение равно нулю, если один множитель равен нулю:

\[ \sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1. \]

Значение \(x=-1\) не подходит, так как \(x\ge1\).

\[ \boxed{x=1} \]

---

2) \(y=x\sqrt{x-1}\)

Область определения:

\[ x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1. \]

При \(x\ge1\) множитель \(x\) не равен нулю, поэтому:

\[ \sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1. \]

\[ \boxed{x=1} \]

---

3) \(y=|x|-x\)

Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\), поэтому:

\[ y=x-x=0. \]

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), поэтому:

\[ y=-x-x=-2x\ne0. \]

Значит, функция равна нулю при всех \(x\ge0\):

\[ \boxed{x\in[0;+\infty)} \]

---

4) \(y=\{x\}\)

\(\{x\}\) — дробная часть числа \(x\).

Дробная часть равна нулю у целых чисел:

\[ \{x\}=0 \quad \text{при } x\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{x\in\mathbb Z} \]

---

5) \(y=\mathbb D(x)\)

Функция Дирихле равна нулю для иррациональных чисел:

\[ \mathbb D(x)=0 \quad \text{при } x\notin\mathbb Q. \]

Поэтому:

\[ \boxed{x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\ x=1;\\ 2)&\ x=1;\\ 3)&\ x\in[0;+\infty);\\ 4)&\ x\in\mathbb Z;\\ 5)&\ x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q. \end{aligned}} \]

Ответ:

1. \(x=1\)
2. \(x=1\)
3. \(x\in[0;+\infty)\)
4. \(x\in\mathbb Z\)
5. \(x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\)

№ 5.6

Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y=0\).

1) \(y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}\)

ОДЗ:

\[ \begin{cases} x-1\ge 0,\\ x+1\ge 0. \end{cases} \]

\[ x\ge 1. \]

Приравняем функцию к нулю:

\[ \sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}=0. \]

\[ \sqrt{x-1}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+1}=0. \]

\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-1. \]

С учётом ОДЗ \(x\ge1\):

\[ \boxed{x=1}. \]

---

2) \(y=x\sqrt{x-1}\)

ОДЗ:

\[ x-1\ge0, \]

\[ x\ge1. \]

Приравняем функцию к нулю:

\[ x\sqrt{x-1}=0. \]

\[ x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-1}=0. \]

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=1. \]

С учётом ОДЗ \(x\ge1\):

\[ \boxed{x=1}. \]

---

3) \(y=|x|-x\)

Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\):

\[ y=x-x=0. \]

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\):

\[ y=-x-x=-2x\ne0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x\in[0;+\infty)}. \]

---

4) \(y=\{x\}\)

Дробная часть числа равна нулю только у целых чисел:

\[ \{x\}=0 \quad \text{при } x\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{x\in\mathbb Z}. \]

---

5) \(y=\mathbb D(x)\)

Функция Дирихле равна нулю при иррациональных значениях \(x\):

\[ \mathbb D(x)=0 \quad \text{при } x\notin\mathbb Q. \]

\[ \boxed{x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q}. \]

Ответ:

\[ \boxed{1)\ x=1;\quad 2)\ x=1;\quad 3)\ x\in[0;+\infty);} \]

\[ \boxed{4)\ x\in\mathbb Z;\quad 5)\ x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.} \]