реши 3.7
Краткий ответ:
\[ \text{а) }\sqrt[4]{x^2}=\sqrt{x},\qquad \text{б) }\sqrt[6]{y^4}=\sqrt[3]{y^2}, \]
\[ \text{в) }\sqrt[10]{a^5}=\sqrt{a},\qquad \text{г) }\sqrt[24]{n^{16}}=\sqrt[3]{n^2}. \]
Так как переменные положительные, используем правило:
\[ \sqrt[m]{a^k}=a^{\frac{k}{m}}. \]
а)
\[ \sqrt[4]{x^2}=x^{\frac24}=x^{\frac12}=\sqrt{x}. \]б)
\[ \sqrt[6]{y^4}=y^{\frac46}=y^{\frac23} =\sqrt[3]{y^2}. \]в)
\[ \sqrt[10]{a^5}=a^{\frac5{10}} =a^{\frac12}=\sqrt a. \]г)
\[ \sqrt[24]{n^{16}}=n^{\frac{16}{24}} =n^{\frac23}=\sqrt[3]{n^2}. \]
Проверка: показатели степеней в каждом случае сократились на общий делитель.
Обсуждение
2 сообщенияреши 3.11
3.11. Вычислите
а)
\[
\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{4}
=2^{\frac23}\cdot2^{\frac12}
=2^{\frac76}
=2\sqrt[6]{2}.
\]
б)
\[
\sqrt[3]{135}\cdot\sqrt[3]{25}
=\sqrt[3]{135\cdot25}
=\sqrt[3]{3375}
=\sqrt[3]{15^3}=15.
\]
в)
\[
\sqrt{20}\cdot\sqrt5
=\sqrt{20\cdot5}
=\sqrt{100}=10.
\]
г)
\[
\sqrt[5]{16}\cdot\sqrt[5]{486}
=\sqrt[5]{16\cdot486}
=\sqrt[5]{7776}
=\sqrt[5]{6^5}=6.
\]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }2\sqrt[6]{2};\quad \text{б) }15;\quad \text{в) }10;\quad \text{г) }6.} \]
