Сделай решение с графиками функции
Краткий ответ
- б) \(y=x^4\)
- в) \((-\infty;+\infty)\)
- б) нечётной
- в) \(y=x^{2n}\)
- б) \((0;+\infty)\)
- б) убывает
- б) функция убывает
Решение
1. Чётный натуральный показатель
Натуральный показатель должен быть положительным, а чётный — делиться на 2.
Из предложенных функций только
\[ y=x^4 \]
имеет чётный натуральный показатель \(4\).
Ответ: б).
Её график — парабола, ветви направлены вверх:
y
↑
╲ │ ╱
╲ │ ╱
╲ │ ╱
───────────●──────────→ x
(0; 0)
2. Область определения \(y=x^{2n}\)
Показатель \(2n\) — натуральное число, поэтому степень определена при любом действительном \(x\), в том числе при \(x=0\).
\[ D(y)=(-\infty;+\infty) \]
Ответ: в).
График симметричен относительно оси \(Oy\) и проходит через начало координат.
3. Чётность функции \(y=x^{2n-1}\)
Показатель \(2n-1\) нечётный. Проверим:
\[ f(-x)=(-x)^{2n-1}=-x^{2n-1}=-f(x). \]
Значит, функция нечётная.
Ответ: б).
График нечётной функции симметричен относительно начала координат:
y
↑
╱ │
╱ │
────────●────┼────────→ x
╱ │
╱ │
4. Какой график проходит через начало координат?
Начало координат имеет координаты \((0;0)\). Подставим \(x=0\).
Для функции
\[ y=x^{2n} \]
получаем:
\[ y=0^{2n}=0. \]
Значит, график проходит через точку \((0;0)\).
В функциях с отрицательными показателями \(x=0\) недопустим, так как появляется деление на ноль.
Ответ: в) \(y=x^{2n}\).
5. Область значений \(y=x^{-2n}\)
Запишем отрицательную степень как дробь:
\[ y=x^{-2n}=\frac{1}{x^{2n}}, \qquad x\ne0. \]
Так как \(x^{2n}>0\), то и
\[ y>0. \]
Нулю функция не равна, поэтому
\[ E(y)=(0;+\infty). \]
Ответ: б).
График имеет две ветви, расположенные выше оси \(Ox\), и не пересекает оси координат:
y
╱ │ ╲
╱ │ ╲
──────┼──────┼──────┼────→ x
│
Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
6. Поведение функции \(y=x^{-(2n-1)}\) при \(x>0\)
Найдём производную:
\[ y' = -(2n-1)x^{-2n}. \]
При \(x>0\)
\[ x^{-2n}>0, \]
поэтому
\[ y'<0. \]
Если производная отрицательна, функция убывает.
Ответ: б).
7. Поведение функции \(y=x^{2n}\) при \(x<0\)
Найдём производную:
\[ y'=2n x^{2n-1}. \]
При \(x<0\) число \(x^{2n-1}\) отрицательно, поэтому
\[ y'<0. \]
Следовательно, на промежутке \((-\infty;0)\) функция убывает.
Ответ: б).
Это видно и по графику: при движении слева направо к началу координат значения \(y=x^{2n}\) уменьшаются.
Итоговый принцип
- \(x^{\text{чётное}}\) — график симметричен относительно \(Oy\), значения неотрицательны.
- \(x^{\text{нечётное}}\) — график симметричен относительно начала координат.
- \(x^{-\text{чётное}}\) — две ветви выше оси \(Ox\).
- \(x^{-\text{нечётное}}\) — ветви в I и III координатных четвертях.
- Для проверки возрастания или убывания удобно находить знак производной.
Обсуждение
4 сообщенияЭто продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении задания 8–13 по теме степенных функций и их графиков.
8. Вертикальная асимптота \(x=0\)
Функции с отрицательным показателем имеют вид
\[ y=\frac1{x^k}, \]
поэтому при \(x\to0\) их значения неограниченно возрастают по модулю. Вертикальная асимптота — \(x=0\).
У функции
\[ y=x^{2n} \]
значение при \(x=0\) равно \(0\), поэтому вертикальной асимптоты нет.
Ответ: в) \(y=x^{2n}\).
9. Установите соответствие
- \(\;y=x^{2n}\) — чётная, убывает при \(x<0\), возрастает при \(x>0\).
\[ \boxed{1\text{ — б}} \]
- \(\;y=x^{2n-1}\) — нечётная и возрастает на всей области определения.
\[ \boxed{2\text{ — а}} \]
- \(\;y=x^{-2n}=\dfrac1{x^{2n}}\) — чётная, положительная, имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\).
\[ \boxed{3\text{ — г}} \]
- \(\;y=x^{-(2n-1)}=\dfrac1{x^{2n-1}}\) — нечётная, убывает на каждом промежутке области определения.
\[ \boxed{4\text{ — в}} \]
Ответ: \(1\text{ — б},\; 2\text{ — а},\; 3\text{ — г},\; 4\text{ — в}\).
Схемы графиков
\(y=x^{2n}\)
Чётная функция, график симметричен относительно оси \(Oy\):
y
↑
╱ │ ╲
╱ │ ╲
─────╱────●────╲────→ x
0
\(y=x^{2n-1}\)
Нечётная возрастающая функция:
y
↑
╱ │
╱ │
─────●────┼────→ x
╱ │
╱ │
\(y=x^{-2n}\)
Две положительные ветви, асимптоты \(x=0\) и \(y=0\):
y
╱ │ ╲
╱ │ ╲
─────┼────┼────┼──→ x
│
\(y=x^{-(2n-1)}\)
Ветви расположены в I и III четвертях:
y
╱ │
╱ │
──────┼───┼────→ x
│ │
│ ╲
│ ╲
10. Верно или неверно
Функция
\[ y=x^{-2n}=\frac1{x^{2n}} \]
не определена при \(x=0\), поэтому её график не пересекает ось \(Oy\). Кроме того,
\[ y>0, \]
поэтому график не пересекает ось \(Ox\).
Ответ: верно.
11. Верно или неверно
При \(x<0\) и нечётном показателе \(2n-1\):
\[ x^{2n-1}<0. \]
Значит, функция принимает отрицательные значения.
Ответ: верно.
12. Верно или неверно
\[ f(x)=x^{-(2n-1)}. \]
Проверим чётность:
\[ f(-x)=(-x)^{-(2n-1)}=-x^{-(2n-1)}=-f(x). \]
Следовательно, функция нечётная, а не чётная.
Ответ: неверно.
13. Верно или неверно
Для отрицательного показателя
\[ y=x^{-k}=\frac1{x^k}, \]
поэтому при \(x=0\) происходит деление на ноль. Функция в этой точке не определена и имеет разрыв.
Ответ: верно.
Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении задание 14 по построению и исследованию графиков степенных функций.
14. Построение и исследование графиков
Схемы графиков изображены не в масштабе.
а) \(y=-2x^4+3\)
Таблица значений
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-2x^4+3\) | \(-29\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(-29\) |
Точки для построения:
\[ (-2;-29),\quad(-1;1),\quad(0;3),\quad(1;1),\quad(2;-29). \]
График получают из \(y=x^4\): отражают относительно оси \(Ox\), растягивают в 2 раза и поднимают на 3 единицы.
y
↑
│ ● (0; 3)
│ ╱ ╲
─────────────────┼──────╱───────╲────→ x
╱ ╲
Исследование
1. Область определения:
\[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]
2. Область значений:
Так как \(x^4\ge 0\), то
\[ -2x^4\le 0, \]
следовательно,
\[ E(y)=(-\infty;3]. \]
3. Чётность:
\[ f(-x)=-2(-x)^4+3=-2x^4+3=f(x). \]
Функция чётная, график симметричен относительно оси \(Oy\).
4. Возрастание и убывание:
\[ y'=-8x^3. \]
- при \(x<0\): \(y'>0\), функция возрастает;
- при \(x>0\): \(y'<0\), функция убывает.
\[ \boxed{\text{Возрастает на }(-\infty;0),\quad \text{убывает на }(0;+\infty).} \]
5. Асимптоты и ограниченность:
Асимптот нет, так как это многочлен.
Функция ограничена сверху:
\[ y\le 3, \]
но не ограничена снизу.
6. Наибольшее и наименьшее значения:
\[ \boxed{y_{\max}=3\text{ при }x=0.} \]
Наименьшего значения нет.
б) \(y=2x^3-1\)
Таблица значений
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2x^3-1\) | \(-17\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(15\) |
Точки:
\[ (-2;-17),\quad(-1;-3),\quad(0;-1),\quad(1;1),\quad(2;15). \]
График получают из \(y=x^3\): растягивают по вертикали в 2 раза и опускают на 1 единицу.
y
↑
│ ╱
│ ╱
─────────────────┼──────────────╱────→ x
│ ╱
│ ╱
● (0; −1)
╱
Исследование
1. Область определения:
\[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]
2. Область значений:
Кубическая функция принимает любые действительные значения:
\[ E(y)=(-\infty;+\infty). \]
3. Чётность:
\[ f(-x)=2(-x)^3-1=-2x^3-1. \]
Это выражение не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). Поэтому функция
\[ \boxed{\text{ни чётная, ни нечётная}.} \]
4. Возрастание и убывание:
\[ y'=6x^2\ge 0. \]
Функция возрастает на всей числовой прямой:
\[ \boxed{\text{Возрастает на }(-\infty;+\infty).} \]
Промежутков убывания нет.
5. Асимптоты и ограниченность:
Асимптот нет.
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу:
\[ y\to+\infty\quad\text{при }x\to+\infty, \]
\[ y\to-\infty\quad\text{при }x\to-\infty. \]
6. Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшего и наименьшего значений нет.
в) \(y=3x^{-2}-2\)
Перепишем функцию:
\[ y=\frac{3}{x^2}-2. \]
Таблица значений
При \(x=0\) функция не определена.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-\frac12\) | \(\frac12\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=\frac3{x^2}-2\) | \(-\frac54\) | \(1\) | \(10\) | \(10\) | \(1\) | \(-\frac54\) |
График получают из \(y=\dfrac1{x^2}\): растягивают в 3 раза и опускают на 2 единицы.
y
↑
╱ │ ╲
╱ │ ╲
- - - - - - - - - - - - - - - - - y = −2
│
│ x = 0
Исследование
1. Область определения:
\[ x\ne0, \]
поэтому
\[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
2. Область значений:
Так как
\[ \frac3{x^2}>0, \]
то
\[ y=\frac3{x^2}-2>-2. \]
Следовательно,
\[ E(y)=(-2;+\infty). \]
3. Чётность:
\[ f(-x)=\frac3{(-x)^2}-2=\frac3{x^2}-2=f(x). \]
Функция чётная, график симметричен относительно оси \(Oy\).
4. Возрастание и убывание:
\[ y'=-\frac6{x^3}. \]
- при \(x<0\): \(y'>0\), функция возрастает;
- при \(x>0\): \(y'<0\), функция убывает.
\[ \boxed{\text{Возрастает на }(-\infty;0),} \]
\[ \boxed{\text{убывает на }(0;+\infty).} \]
5. Асимптоты и ограниченность:
Вертикальная асимптота:
\[ \boxed{x=0}. \]
Горизонтальная асимптота:
\[ \boxed{y=-2}. \]
Функция ограничена снизу:
\[ y>-2, \]
но не ограничена сверху.
6. Наибольшее и наименьшее значения:
Наименьшего значения нет, так как \(y\) приближается к \(-2\), но не принимает это значение.
Наибольшего значения нет:
\[ y\to+\infty\quad\text{при }x\to0. \]
Краткий итог
| Функция | \(D(y)\) | \(E(y)\) | Чётность | Возрастание | Убывание |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-2x^4+3\) | \(\mathbb R\) | \((-\infty;3]\) | чётная | \((-\infty;0)\) | \((0;+\infty)\) |
| \(y=2x^3-1\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | ни чётная, ни нечётная | \(\mathbb R\) | нет |
| \(y=\frac3{x^2}-2\) | \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\) | \((-2;+\infty)\) | чётная | \((-\infty;0)\) | \((0;+\infty)\) |
