Дай ответ на 950 и 951

Краткий ответ

950.
а) \(a\); б) \(a\sqrt3\); в) \(a\sqrt3\); г) \(a\); д) \(a\).

951.
а) \(-2\) и \(10\);
б) \(14\) и \(10\);
в) \(14\) и \(10\);
г) \(-2\) и \(10\).

Решение

№ 950

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AC}=\vec v\). В равностороннем треугольнике:

\[ |\vec u|=|\vec v|=a,\qquad \angle BAC=60^\circ. \]

Используем правило многоугольника:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \]

поэтому

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=a. \]

Для суммы двух векторов длины \(a\), угол между которыми \(60^\circ\):

\[ |\vec u+\vec v|^2=a^2+a^2+2a^2\cos60^\circ=3a^2, \]

значит,

\[ |\vec u+\vec v|=a\sqrt3. \]

Отсюда:

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt3, \]

и так же

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=a\sqrt3. \]

Остальные выражения упрощаются:

\[ \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}, \]

поэтому длина равна \(a\);

\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{CB}, \]

поэтому длина также равна \(a\).

№ 951

Так как \(\angle B=90^\circ\), векторы, имеющие направления сторон \(AB\), \(BA\) и \(BC\), взаимно перпендикулярны. Поэтому:

\[ |\vec x\pm\vec y|=\sqrt{|\vec x|^2+|\vec y|^2} =\sqrt{6^2+8^2}=10. \]

При этом в первых выражениях выполняются обычные действия с длинами:

\[ 6-8=-2,\qquad 6+8=14. \]

Следовательно:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Пункт} & \text{Результаты}\\ \hline а) & -2;\ 10\\ б) & 14;\ 10\\ в) & 14;\ 10\\ г) & -2;\ 10 \end{array} \]

Проверка: \(6^2+8^2=36+64=100\), значит длина каждого векторного результата действительно равна \(10\).