Разложи на множители схемой горнера

Краткий ответ:

\[ \boxed{x^4+6x^3+15x^2+20x+12=(x+2)^2(x^2+2x+3)} \]

1. Находим корень

Возможные целые корни — делители свободного члена \(12\). Проверим \(x=-2\):

\[ P(-2)=16-48+60-40+12=0. \]

Значит, многочлен делится на \(x+2\).

2. Первая схема Горнера

\[ \begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1&6&15&20&12\\ & &-2&-8&-14&-12\\ \hline & 1&4&7&6&0 \end{array} \]

Получаем:

\[ x^4+6x^3+15x^2+20x+12=(x+2)(x^3+4x^2+7x+6). \]

3. Делим ещё раз на \(x+2\)

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1&4&7&6\\ & &-2&-4&-6\\ \hline & 1&2&3&0 \end{array} \]

Следовательно,

\[ x^3+4x^2+7x+6=(x+2)(x^2+2x+3). \]

Итог:

\[ \boxed{(x+2)^2(x^2+2x+3)}. \]

Проверка

\[ (x+2)^2(x^2+2x+3) =x^4+6x^3+15x^2+20x+12. \]

Значит, разложение верное.