463, 464, 465, 469

Краткий ответ:

• 463: а) \(540^\circ\); б) \(720^\circ\); в) \(1440^\circ\).
• 464: а) \(5\); б) \(54\); в) \(170\) диагоналей.
• 465: а) \(4\) стороны; б) \(3\) стороны; в) \(6\) сторон; г) \(5\) сторон.
• 469: \(\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ\).

463. Сумма углов многоугольника

Используем формулу:

\[ S=(n-2)\cdot 180^\circ, \]

где \(n\) — число сторон.

а) Пятиугольник:

\[ S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ. \]

б) Шестиугольник:

\[ S=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ. \]

в) Десятиугольник:

\[ S=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. \]

464. Число диагоналей

Формула числа диагоналей:

\[ d=\frac{n(n-3)}{2}. \]

Из каждой вершины можно провести \(n-3\) диагонали: нельзя соединять вершину саму с собой и с двумя соседними вершинами. Каждая диагональ при этом считается дважды, поэтому делим на \(2\).

а) Пятиугольник:

\[ d=\frac{5(5-3)}2=5. \]

б) Двенадцатиугольник:

\[ d=\frac{12(12-3)}2=\frac{12\cdot9}{2}=54. \]

в) Двадцатиугольник:

\[ d=\frac{20(20-3)}2=\frac{20\cdot17}{2}=170. \]

465. Число сторон по величине угла

Если каждый угол равен \(\alpha\), то:

\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \]

Отсюда:

\[ n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}. \]

а) При \(\alpha=90^\circ\):

\[ n=\frac{360}{180-90}=4. \]

б) При \(\alpha=60^\circ\):

\[ n=\frac{360}{180-60}=3. \]

в) При \(\alpha=120^\circ\):

\[ n=\frac{360}{180-120}=6. \]

г) При \(\alpha=108^\circ\):

\[ n=\frac{360}{180-108}=5. \]

469. Углы четырёхугольника

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).

Пусть:

\[ \angle A=\angle B=\angle C=x. \]

Тогда:

\[ x+x+x+135^\circ=360^\circ, \]

\[ 3x=225^\circ, \]

\[ x=75^\circ. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ}. \]

Проверка:

\[ 75^\circ+75^\circ+75^\circ+135^\circ=360^\circ. \]