Реши номер 6 с дано и решением
Краткий ответ:
\[
P=22\text{ см}\quad\text{или}\quad P=23\text{ см}.
\]
Задача имеет 2 решения.
Схема
Пусть \(AD\) — большее основание, \(BC\) — меньшее, а \(BE\parallel CD\).
B────────────C
/ \ \
/ \ \
/ \ \
A───────E────────────D
60° 60°
BE ∥ CD
AE и ED равны 5 см и 4 см
Дано
\(ABCD\) — равнобокая трапеция;
\[ AD\parallel BC,\qquad AB=CD, \]
\[ \angle A=\angle D=60^\circ, \]
\(BE\parallel CD\), \(E\in AD\);
\[ AE\text{ и }ED\text{ — }5\text{ см и }4\text{ см}. \]
Найти: \(P\) и количество решений.
Решение
Так как
\[ BC\parallel AD,\qquad BE\parallel CD, \]
то \(BCDE\) — параллелограмм. Поэтому
\[ ED=BC. \]
В треугольнике \(ABE\):
\[ \angle BAE=60^\circ, \]
а так как \(BE\parallel CD\), то
\[ \angle AEB=\angle CDA=60^\circ. \]
Значит, треугольник \(ABE\) равносторонний:
\[ AE=AB. \]
Следовательно:
- один отрезок \(AE\) равен боковой стороне трапеции;
- второй отрезок \(ED\) равен меньшему основанию.
Возможны два случая.
1-й случай
\[ AE=5\text{ см},\qquad ED=4\text{ см}. \]
Тогда
\[ AB=CD=5\text{ см},\qquad BC=4\text{ см}, \]
\[ AD=AE+ED=5+4=9\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=AB+BC+CD+AD \]
\[ P=5+4+5+9=23\text{ см}. \]
2-й случай
\[ AE=4\text{ см},\qquad ED=5\text{ см}. \]
Тогда
\[ AB=CD=4\text{ см},\qquad BC=5\text{ см}, \]
\[ AD=4+5=9\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=4+5+4+9=22\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{P=22\text{ см или }P=23\text{ см}} \]
\[ \boxed{\text{Задача имеет 2 решения}.} \]
Обсуждение
3 сообщенияСделай рисунок ещё
Реши номер 6 с дано и решение
\[ \boxed{P=22\text{ см или }P=23\text{ см}} \] Задача имеет \(\boxed{2}\) решения.
Рисунок
Выберем вершину тупого угла \(B\) и проведём \(BE\parallel CD\):
B──────────────C
/ \ \
/ \ \
/ \ \
/ \ \
A─────────E────────────D
∠A=60° ∠D=60°
BE ∥ CD
AD — большее основание, BC — меньшее
Дано
\(ABCD\) — равнобокая трапеция;
\[ AD\parallel BC,\qquad AB=CD, \]
\[ \angle A=\angle D=60^\circ, \]
\[ BE\parallel CD,\qquad E\in AD, \]
отрезки \(AE\) и \(ED\) равны \(5\) см и \(4\) см.
Найти: \(P\) и количество решений.
Решение
Так как
\[ BC\parallel AD,\qquad BE\parallel CD, \]
то \(BCDE\) — параллелограмм. Следовательно,
\[ ED=BC,\qquad BE=CD. \]
Но трапеция равнобокая, поэтому
\[ AB=CD. \]
Значит,
\[ AB=BE. \]
В треугольнике \(ABE\):
\[ \angle BAE=60^\circ. \]
Так как \(AB=BE\), треугольник \(ABE\) равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:
\[ \angle BAE=\angle AEB=60^\circ. \]
Следовательно, треугольник \(ABE\) равносторонний:
\[ AE=AB=CD. \]
Также
\[ ED=BC. \]
Значит, отрезки \(AE\) и \(ED\) — это боковая сторона и меньшее основание трапеции, но неизвестно, какой из них равен \(5\) см.
1-й случай
\[ AE=5\text{ см},\qquad ED=4\text{ см}. \]
Тогда
\[ AB=CD=5\text{ см},\qquad BC=4\text{ см}, \]
\[ AD=AE+ED=5+4=9\text{ см}. \]
\[ P=AB+BC+CD+AD \]
\[ P=5+4+5+9=23\text{ см}. \]
2-й случай
\[ AE=4\text{ см},\qquad ED=5\text{ см}. \]
Тогда
\[ AB=CD=4\text{ см},\qquad BC=5\text{ см}, \]
\[ AD=4+5=9\text{ см}. \]
\[ P=4+5+4+9=22\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{P=23\text{ см или }P=22\text{ см}} \]
\[ \boxed{\text{Задача имеет 2 решения}.} \]
