Семь формул площади Параллелограма

Кратко: площадь параллелограмма можно найти несколькими способами.

Пусть \(a\) и \(b\) — соседние стороны, \(h_a\) и \(h_b\) — соответствующие высоты, \(d_1,d_2\) — диагонали.

7 формул

1. \[ S=a h_a \]

2. \[ S=b h_b \]

3. \[ S=ab\sin\alpha \] где \(\alpha\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).

4. \[ S=ab\sin\beta \] где \(\beta\) — второй внутренний угол параллелограмма. Так как \(\sin\beta=\sin\alpha\), результат тот же.

5. \[ S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi \] где \(\varphi\) — угол между диагоналями.

6. Если известны стороны \(a,b\) и одна диагональ \(d\), то: \[ S=\frac12\sqrt{\bigl((a+b)^2-d^2\bigr)\bigl(d^2-(a-b)^2\bigr)} \]

7. Если соседние стороны заданы координатными векторами \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\), то: \[ S=\left|x_1y_2-y_1x_2\right| \]

Главный принцип

Основная формула:

\[ S=\text{основание}\cdot\text{высота}. \]

Например, если основание — \(a\), то \(S=ah_a\).
Если известны две стороны и угол, то высота выражается так:

\[ h_a=b\sin\alpha. \]

Поэтому:

\[ S=ah_a=a\cdot b\sin\alpha=ab\sin\alpha. \]

Проверка: пусть \(a=6\), \(b=4\), \(\alpha=30^\circ\). Тогда

\[ S=ab\sin30^\circ=6\cdot4\cdot\frac12=12. \]

А через высоту:

\[ h_a=4\sin30^\circ=2,\qquad S=6\cdot2=12. \]

Значит, формулы дают одинаковый результат.