Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.} \]

Решим уравнение: \[ \sqrt2\sin^3x-\sqrt2\sin x+\cos^2x=0. \]

Сгруппируем первые два слагаемых и используем \(\sin^2x-1=-\cos^2x\): \[ \sqrt2\sin x(\sin^2x-1)+\cos^2x=0, \] \[ -\sqrt2\sin x\cos^2x+\cos^2x=0, \] \[ \cos^2x(1-\sqrt2\sin x)=0. \]

Произведение равно нулю, если:

1. \(\cos^2x=0\), то есть \[ \cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

2. \(1-\sqrt2\sin x=0\), то есть \[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2}. \] Отсюда \[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k. \]

Проверка: при \(\cos x=0\) оба слагаемых взаимно уничтожаются; при \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) получаем \(-\frac12+\frac12=0\). Все найденные значения подходят.