Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(\boxed{16}\).

Пусть ребро куба равно
\[ a=8\sqrt2. \]

Введём координаты: \[ A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0), \] а верхние вершины имеют координату \(z=a\).

Так как \(AM=CN=2\sqrt2\), то \[ M(0,0,2\sqrt2),\qquad N(a,a,2\sqrt2). \]

Середина отрезка \(MN\): \[ P\left(\frac a2,\frac a2,2\sqrt2\right). \]

Прямая проходит через \(B\) и \(P\). От точки \(B\) до точки \(P\) высота увеличивается от \(0\) до \(2\sqrt2\). Чтобы достичь верхней грани \(z=a=8\sqrt2\), нужно увеличить этот отрезок в \[ \frac{8\sqrt2}{2\sqrt2}=4 \] раза.

Поэтому точка \(E\) получается продолжением \(BP\) в 4 раза: \[ E=(-a,2a,a). \]

Точка \[ D_1=(0,a,a). \]

Обе точки \(D_1\) и \(E\) лежат в верхней грани, поэтому: \[ D_1E=\sqrt{(-a)^2+a^2} =a\sqrt2. \]

Подставим \(a=8\sqrt2\): \[ D_1E=8\sqrt2\cdot\sqrt2=\boxed{16}. \]

Проверка: результат совпадает с длиной диагонали квадрата со сторонами \(a\) и \(a\) в верхней грани.