Можешь подробно показать решение, пожалуйста? Смотри условие Площадь сферы, вписанной в куб, равна 25Пи. Найти радиус сферы, описанной около этого куба
Краткий ответ: \[ \boxed{R=\frac{5\sqrt3}{2}} \]
где \(R\) — радиус сферы, описанной около куба.
Решение
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
\[ S=4\pi r^2, \]
где \(r\) — радиус вписанной сферы.
По условию:
\[ 4\pi r^2=25\pi. \]
Сократим на \(\pi\):
\[ 4r^2=25, \]
\[ r^2=\frac{25}{4}, \]
\[ r=\frac52. \]
Сфера вписана в куб, поэтому её диаметр равен ребру куба:
\[ a=2r=2\cdot \frac52=5. \]
Сфера, описанная около куба, проходит через вершины куба. Её диаметр равен диагонали куба.
Пространственная диагональ куба:
\[ d=a\sqrt3=5\sqrt3. \]
Следовательно, радиус описанной сферы равен половине диагонали:
\[ R=\frac d2=\frac{5\sqrt3}{2}. \]
Проверка
\[ R=\frac{\sqrt3}{2}\cdot a =\frac{\sqrt3}{2}\cdot5 =\frac{5\sqrt3}{2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{5\sqrt3}{2}} \]
Обсуждение
3 сообщенияТогда куб будет внутри окружности? Если в условии площадь сферы вписанной в куб
Да, но в пространстве правильно говорить «куб находится внутри сферы», а не внутри окружности.
Здесь участвуют две разные сферы:
Сфера, вписанная в куб — находится внутри куба и касается всех его граней: \[ d_{\text{сферы}}=a. \] Поэтому из найденного радиуса \(r=\frac52\): \[ a=2r=5. \]
Сфера, описанная около куба — окружает куб; все 8 вершин куба лежат на её поверхности. Поэтому её диаметр равен пространственной диагонали куба: \[ d_{\text{куба}}=a\sqrt3=5\sqrt3, \] а радиус: \[ R=\frac{5\sqrt3}{2}. \]
Схематично:
\[ \text{вписанная сфера внутри куба} \qquad\longrightarrow\qquad \text{куб внутри описанной сферы}. \]
В плоском рисунке это выглядело бы как круг с вписанным квадратом, а в пространстве — сфера с вписанным кубом.
Сфера, радиусом 15см пересечена плоскостью проходящей на расстоянии 9 см от центра сферы Найти длину линии пересечения плоскости и сферы
