Реши задание на изображении
Краткие ответы
\(\displaystyle \frac{x-2}{x}<0\)
\[ x\in(0;2) \]\(\displaystyle \frac1x>\frac23\)
\[ x\in\left(0;\frac32\right) \]\(\displaystyle \frac{3x+3}{2-x}\ge 0\)
\[ x\in[-1;2),\qquad \text{целых решений }3 \]\(\displaystyle \frac{8-x}{7x-14}\ge 0\)
\[ x\in(2;8],\qquad \text{целых решений }6 \]\(\displaystyle \frac{2x-3}{x+1}<0\)
\[ x\in\left(-1;\frac32\right) \]\(\displaystyle 2^x<16\)
\[ x<4 \]\(\displaystyle \frac4x<\frac14\)
\[ x\in(-\infty;0)\cup(16;+\infty) \]\(\displaystyle \frac4{x-3}>\frac15\)
\[ x\in(3;23) \]
Решение
Для дробно-рациональных неравенств отмечаем:
- нули числителя — возможные границы;
- нули знаменателя — значения, которые исключаются из ОДЗ;
- на каждом промежутке определяем знак дроби.
1.
\[ \frac{x-2}{x}<0 \]
Критические точки: \(x=2\) и \(x=0\). Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:
\[ 0<x<2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(0;2)} \]
2.
\[ \frac1x>\frac23 \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac1x-\frac23>0, \]
\[ \frac{3-2x}{3x}>0. \]
Критические точки:
\[ x=0,\qquad x=\frac32. \]
Положительный знак получается на промежутке
\[ 0<x<\frac32. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left(0;\frac32\right)} \]
3.
\[ \frac{3x+3}{2-x}\ge0 \]
Разложим числитель:
\[ \frac{3(x+1)}{2-x}\ge0. \]
Критические точки:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Точка \(x=-1\) включается, так как числитель равен нулю. Точка \(x=2\) исключается, так как знаменатель равен нулю:
\[ x\in[-1;2). \]
Целые решения:
\[ -1,\;0,\;1. \]
Их количество:
\[ \boxed{3}. \]
4.
\[ \frac{8-x}{7x-14}\ge0 \]
\[ \frac{8-x}{7(x-2)}\ge0. \]
Критические точки:
\[ x=2,\qquad x=8. \]
Получаем:
\[ x\in(2;8]. \]
Целые решения:
\[ 3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8. \]
Их количество:
\[ \boxed{6}. \]
5.
\[ \frac{2x-3}{x+1}<0 \]
Критические точки:
\[ x=\frac32,\qquad x=-1. \]
Дробь отрицательна между критическими точками:
\[ \boxed{x\in\left(-1;\frac32\right)}. \]
6.
\[ 2^x<16. \]
Представим \(16\) как степень двойки:
\[ 16=2^4. \]
Так как основание \(2>1\), функция возрастает, поэтому показатели сравниваются в том же порядке:
\[ x<4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;4)}. \]
7.
\[ \frac4x<\frac14 \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac4x-\frac14<0, \]
\[ \frac{16-x}{4x}<0. \]
Критические точки:
\[ x=0,\qquad x=16. \]
Дробь отрицательна на промежутках:
\[ x<0\quad\text{или}\quad x>16. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(16;+\infty)}. \]
8.
\[ \frac4{x-3}>\frac15 \]
\[ \frac4{x-3}-\frac15>0, \]
\[ \frac{20-(x-3)}{5(x-3)}>0, \]
\[ \frac{23-x}{5(x-3)}>0. \]
Критические точки:
\[ x=3,\qquad x=23. \]
Положительный знак получается между ними:
\[ \boxed{x\in(3;23)}. \]
Проверка: при \(x=4\)
\[ \frac4{4-3}=4>\frac15, \]
а при \(x=24\)
\[ \frac4{24-3}=\frac4{21}<\frac15, \]
значит промежуток найден верно.
