Сфера, радиусом 15см пересечена плоскостью проходящей на расстоянии 9 см от центра сферы Найти длину линии пересечения плоскости и сферы
Краткий ответ: длина линии пересечения равна
\[
\boxed{24\pi\text{ см}}\approx 75{,}4\text{ см}.
\]
При пересечении сферы плоскостью получается окружность. Её радиус \(r\), расстояние от центра сферы до плоскости \(d=9\) см, а радиус сферы \(R=15\) см образуют прямоугольный треугольник:
\[ R^2=r^2+d^2. \]
Найдём радиус окружности сечения:
\[ r=\sqrt{R^2-d^2} =\sqrt{15^2-9^2} =\sqrt{225-81} =\sqrt{144}=12\text{ см}. \]
Длина окружности:
\[ L=2\pi r=2\pi\cdot12=\boxed{24\pi\text{ см}}. \]
Проверка: \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\), значит радиус сечения найден верно.
Обсуждение
3 сообщенияМожешь дано и решение подробное записать, плиз?
Дано:
\[ R=15\text{ см} \] — радиус сферы;
\[ d=9\text{ см} \] — расстояние от центра сферы до плоскости.
Найти:
\[ L \] — длину линии пересечения сферы и плоскости.
Решение:
При пересечении сферы плоскостью образуется окружность.
Обозначим через \(r\) радиус этой окружности. Проведём из центра сферы \(O\) перпендикуляр \(OH\) к плоскости. Тогда:
- \(OA=R=15\) см — радиус сферы;
- \(OH=d=9\) см — расстояние от центра до плоскости;
- \(AH=r\) — радиус окружности сечения.
Треугольник \(OHA\) прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
\[ OA^2=OH^2+AH^2. \]
Подставим известные значения:
\[ 15^2=9^2+r^2, \]
\[ r^2=225-81=144, \]
\[ r=12\text{ см}. \]
Длина окружности вычисляется по формуле:
\[ L=2\pi r. \]
Тогда:
\[ L=2\pi\cdot12=24\pi\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{24\pi\text{ см}} \]
или приблизительно
\[ \boxed{75{,}4\text{ см}}. \]
Напиши дано, а после подробное решение. Плоскость, касающаяся шара, проходит на расстоянии 4 см от центра шара. Найти площадь поверхности шара
