4.10

Краткий ответ:

1. \(f(x)=5x\) — возрастает на \((-\infty;+\infty)\).
2. \(g(x)=-x\) — убывает на \((-\infty;+\infty)\).
3. \(p(x)=\dfrac{8}{x}\), \(x\ne0\) — убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
4. \(\psi(x)=-\dfrac{6}{x}\), \(x\ne0\) — возрастает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).

Как определить

• Для линейной функции \(y=kx\):
  • если \(k>0\), график поднимается слева направо — функция возрастает;
  • если \(k<0\), график опускается — функция убывает.

Поэтому:

• \(f(x)=5x\): \(5>0\), функция возрастает;
• \(g(x)=-x\): \(-1<0\), функция убывает.

Для функции \(y=\dfrac{k}{x}\) число \(x=0\) не входит в область определения, поэтому рассматриваем два промежутка отдельно:

• при \(k>0\) функция \(\dfrac{k}{x}\) убывает на каждой части области определения;
• при \(k<0\) функция \(\dfrac{k}{x}\) возрастает на каждой части области определения.

Значит:

• \(\dfrac{8}{x}\) убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• \(-\dfrac{6}{x}\) возрастает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).

Проверка по значениям:

\[ \frac{8}{1}=8,\qquad \frac{8}{2}=4 \]

при увеличении \(x\) значение уменьшается.

\[ -\frac{6}{1}=-6,\qquad -\frac{6}{2}=-3 \]

при увеличении \(x\) значение увеличивается.