задание 8 нужно составить график
Оценка заданий на построение графиков
Я вижу, что есть некоторая неоднозначность относительно того, какие именно задания следует рассмотреть, но думаю, что нам стоит охватить все шесть. Возможно, мне потребуется вычислить точки и объяснить принципы. Нет необходимости уточнять, если я могу сразу предоставить разборчивый ответ.
Для функции \(f(x) = 2.5 - 4x\) это прямая с угловым коэффициентом -4 и точкой пересечения с осью y, равной 2.5. Я могу выбрать простые точки для построения, например \((0, 2.5)\) и \((0.5, 0)\).
Для \(f(x) = 5/x\) это гипербола с областью определения \(x \neq 0\) и ветвями в первой и третьей четвертях.
Краткий ответ
Для задания 8 нужно построить графики шести функций:
| Пункт | Функция | Вид графика | Основные точки |
|---|---|---|---|
| а | \(y=2{,}5-4x\) | прямая | \((0;2{,}5)\), \((0{,}5;0)\) |
| б | \(y=\dfrac5x\) | гипербола | \((1;5)\), \((5;1)\), \((-1;-5)\), \((-5;-1)\) |
| в | \(y=-|x|\) | перевёрнутая буква \(V\) | \((-2;-2)\), \((0;0)\), \((2;-2)\) |
| г | \(y=-\dfrac{10}{x}\) | гипербола | \((1;-10)\), \((10;-1)\), \((-1;10)\), \((-10;1)\) |
| д | \(y=|x+3|+2\) | буква \(V\) | вершина \((-3;2)\), \((-4;3)\), \((-2;3)\) |
| е | \(y=2|x|+1\) | буква \(V\) | вершина \((0;1)\), \((-1;3)\), \((1;3)\) |
Построение
а) \(y=2{,}5-4x\)
Это линейная функция, поэтому её график — прямая.
Возьмём две точки:
\[ x=0 \Rightarrow y=2{,}5; \]
\[ x=0{,}5 \Rightarrow y=2{,}5-4\cdot0{,}5=0. \]
Отметь точки \((0;2{,}5)\) и \((0{,}5;0)\), затем проведи через них прямую.
б) \(y=\dfrac5x\)
Это гипербола. Её асимптоты:
\[ x=0,\qquad y=0. \]
Таблица значений:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&1&5&-1&-5\\ \hline y&5&1&-5&-1 \end{array} \]
Ветви расположены в I и III координатных четвертях.
в) \(y=-|x|\)
Сначала строим \(y=|x|\), затем отражаем график относительно оси \(Ox\).
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-2&-1&0&-1&-2 \end{array} \]
Вершина графика:
\[ (0;0). \]
Получается перевёрнутая буква \(V\).
г) \(y=-\dfrac{10}{x}\)
Это гипербола с асимптотами
\[ x=0,\qquad y=0. \]
Точки:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&1&10&-1&-10\\ \hline y&-10&-1&10&1 \end{array} \]
Ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
д) \(y=|x+3|+2\)
График \(y=|x|\) сдвинули на \(3\) единицы влево и на \(2\) единицы вверх.
Вершина:
\[ (-3;2). \]
Составим несколько точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-5&-4&-3&-2&-1\\ \hline y&4&3&2&3&4 \end{array} \]
Получается обычная буква \(V\) с вершиной в точке \((-3;2)\).
е) \(y=2|x|+1\)
Вершина:
\[ (0;1). \]
Таблица значений:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&5&3&1&3&5 \end{array} \]
График — буква \(V\), направленная вверх. По сравнению с \(y=|x|\) её ветви более крутые.
Проверка
- Для \(y=\dfrac5x\): произведение \(xy=5\).
- Для \(y=-\dfrac{10}{x}\): произведение \(xy=-10\).
- Графики с модулем симметричны относительно вертикальной прямой через вершину:
\(y=-|x|\) и \(y=2|x|+1\) — относительно оси \(Oy\),
\(y=|x+3|+2\) — относительно прямой \(x=-3\).
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни, как строить графики с модулем
Графики с модулем удобно строить двумя способами.
1. Основное свойство модуля
\[ |x|= \begin{cases} x,\quad x\ge 0,\\ -x,\quad x<0. \end{cases} \]
Поэтому график \(y=|x|\) выглядит как буква \(V\):
- вершина — \((0;0)\);
- правая ветвь: \(y=x\);
- левая ветвь: \(y=-x\).
График симметричен относительно оси \(Oy\).
2. Общий вид
Для функции
\[ y=a|x-h|+k \]
вершина графика находится в точке
\[ (h;k). \]
- если \(a>0\), буква \(V\) направлена вверх;
- если \(a<0\), график перевёрнут;
- чем больше \(|a|\), тем уже и круче ветви.
Примеры из задания
\(y=-|x|\)
Здесь \(a=-1\), \(h=0\), \(k=0\).
Вершина:
\[ (0;0). \]
График направлен вниз:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-2&-1&0&-1&-2 \end{array} \]
Получается перевёрнутая буква \(V\).
\(y=|x+3|+2\)
Запишем:
\[ y=|x-(-3)|+2. \]
Значит, вершина:
\[ (-3;2). \]
График \(y=|x|\) сдвинули:
- на \(3\) единицы влево;
- на \(2\) единицы вверх.
Точки:
\[ (-4;3),\quad (-3;2),\quad (-2;3). \]
Соедини их двумя лучами — получится буква \(V\).
\(y=2|x|+1\)
Вершина:
\[ (0;1). \]
Точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&5&3&1&3&5 \end{array} \]
График направлен вверх, но ветви круче, чем у \(y=|x|\), потому что перед модулем стоит число \(2\).
Короткий алгоритм
- Найди вершину.
- Определи направление: вверх или вниз.
- Возьми несколько точек справа и слева от вершины.
- Отметь их на координатной плоскости.
- Соедини точки двумя прямыми лучами.
Можешь создать график на варианте а)
Да. Для пункта а) дана функция
\[ y=2{,}5-4x. \]
Это прямая. Достаточно отметить две точки:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-0{,}5&0&0{,}5&1\\ \hline y&4{,}5&2{,}5&0&-1{,}5 \end{array} \]
На координатной плоскости отметь, например, точки
\[ (0;2{,}5),\qquad (0{,}5;0), \]
а затем проведи через них прямую:
y
5 ┤╲
4,5┤ ●
4 ┤ ╲
3 ┤ ╲
2,5┤ ●
2 ┤ ╲
1 ┤ ╲
0 ┼─────────────●────────→ x
-1 ┤ ╲
-1,5 ●
Прямая убывает: при увеличении \(x\) на \(1\) значение \(y\) уменьшается на \(4\).
