реши 3 задание
Проверка последовательностей и сумм
Если S увеличивается на 4, думаю, я могу добавить к существующей последовательности четырёхзначное число, сумма цифр которого должна быть равна этому увеличению. Чтобы охватить все случаи, где S больше 17, мне нужно проверить такие значения, как S=18, 19, 20, 21. Думаю, я могу вычитать кратные 4, чтобы привести S к этому диапазону. Например, если S=22, вычитание 4 даёт 18. Мне нужно лишь внимательно следить за суммой цифр числа при добавлении 4. Это, по-видимому, указывает на более простое доказательство.
Проверка сумм цифр
Я проверяю, что все используемые цифры — это либо 4, либо 7, и проверяю их сумму. Для S=18–21 можно сказать, что они выполняются непосредственно; всё, что больше, также, по-видимому, подходит. Можно было бы объяснить альтернативный алгебраический метод, такой как S=4a+7b, но, думаю, метода индукции достаточно. Интересно, стоит ли явно упомянуть «проверку». Не хочу чрезмерно усложнять, поэтому давайте завершим, добавив маркер для ясности!
Краткий ответ: Сёма может написать число с любой суммой цифр \(S>17\).
Доказательство
Сначала найдём числа с суммами цифр \(18,19,20,21\):
\[ \begin{aligned} 18&=4+7+7 &&(\text{например, }477),\\ 19&=4+4+4+7 &&(\text{например, }4447),\\ 20&=4+4+4+4+4 &&(\text{например, }44444),\\ 21&=7+7+7 &&(\text{например, }777). \end{aligned} \]
Это четыре последовательных значения, поэтому любое число \(S>17\) можно представить в виде
\[ S=S_0+4k, \]
где \(S_0\) — одно из чисел \(18,19,20,21\), а \(k\ge 0\).
К числу, уже составленному из цифр \(4\) и \(7\), добавим \(k\) цифр \(4\). Сумма цифр увеличится на \(4k\), поэтому станет равной \(S\).
Следовательно, для любой суммы цифр, большей \(17\), существует число, записанное только цифрами \(4\) и \(7\).
Обсуждение
4 сообщенияА что значит S 0
\(S_0\) — это начальная сумма цифр, выбранная из чисел \(18,19,20,21\). Индекс «0» означает не ноль, а исходное значение.
В формуле
\[ S=S_0+4k \]
- \(S\) — нужная сумма цифр;
- \(S_0\) — одна из сумм \(18,19,20,21\);
- \(k\) — сколько раз добавили цифру \(4\).
Например, если \(S=26\), то
\[ 26=18+4\cdot2. \]
Значит, \(S_0=18\), \(k=2\). Берём число \(477\) и добавляем две цифры \(4\): \(47744\). Сумма его цифр равна \(26\).
А как ее по другому записать
Можно записать проще:
\[ S_{\text{нач}} \]
Это означает начальная сумма цифр.
Тогда формула будет такой:
\[ S=S_{\text{нач}}+4k, \]
где \(S_{\text{нач}}\) — одно из чисел \(18,19,20,21\).
Или вообще без обозначения:
\[ S=18+4k,\quad S=19+4k,\quad S=20+4k \quad\text{или}\quad S=21+4k. \]
