Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(\displaystyle \frac{x}{y}\), \(a\ne-3,\ y\ne0\);
   б) \(\displaystyle \frac{3}{x+5}\), \(x\ne-5\).

2. а) \(\displaystyle \frac35\), \(a+b\ne0\);
   б) \(\displaystyle \frac73\), \(x-2y\ne0\).

3. а) \(\displaystyle -\frac2x\), \(x\ne0,\ x\ne y\);
   б) \(\displaystyle -\frac32\), \(c\ne3d\).

4. а) \(\displaystyle \frac5{x+2}\), \(x\ne2,\ x\ne-2\);
   б) \(\displaystyle \frac{a-3}{5}\), \(a\ne-3\).

5. а) \(\displaystyle -\frac{y+4}{y^2}\), \(y\ne0,\ y\ne4\);
   б) \(\displaystyle \frac{1-a}{a+1}\), \(a\ne1,\ a\ne-1\).

Ключевой принцип: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить только одинаковые множители. Слагаемые сокращать нельзя.

1. \[ \frac{x(a+3)}{y(a+3)}=\frac{x}{y}, \qquad \frac{3(x+5)^2}{(x+5)^3}=\frac3{x+5}. \]

2. \[ \frac{3a+3b}{5(a+b)} =\frac{3(a+b)}{5(a+b)} =\frac35; \] \[ \frac{7x-14y}{3x-6y} =\frac{7(x-2y)}{3(x-2y)} =\frac73. \]

3. Так как \(y-x=-(x-y)\), то \[ \frac{2(x-y)}{x(y-x)} =\frac{2(x-y)}{-x(x-y)} =-\frac2x. \] Также: \[ \frac{3c-9d}{6d-2c} =\frac{3(c-3d)}{-2(c-3d)} =-\frac32. \]

4. Используем разность квадратов: \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \] поэтому \[ \frac{5x-10}{x^2-4} =\frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\frac5{x+2}. \] И \[ \frac{a^2-9}{15+5a} =\frac{(a-3)(a+3)}{5(a+3)} =\frac{a-3}{5}. \]

5. \[ 4y^2-y^3=y^2(4-y)=-y^2(y-4), \] значит \[ \frac{y^2-16}{4y^2-y^3} =\frac{(y-4)(y+4)}{-y^2(y-4)} =-\frac{y+4}{y^2}. \]

\[ a^2-2a+1=(a-1)^2,\qquad 1-a^2=-(a-1)(a+1), \] поэтому \[ \frac{a^2-2a+1}{1-a^2} =\frac{(a-1)^2}{-(a-1)(a+1)} =\frac{1-a}{a+1}. \]

Ограничения нужны потому, что исходный знаменатель не должен быть равен нулю.