Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x=2 \quad \text{или} \quad x=3.
\]
Решение:
Найдём два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\). Поэтому разложим выражение на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Ответ: \(\boxed{x=2;\ x=3}\).
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как находить множители по сумме и произведению.
Чтобы разложить квадратный трёхчлен
\[ x^2+bx+c \]
на множители, нужно найти два числа \(m\) и \(n\), для которых:
\[ m+n=b,\qquad mn=c. \]
Тогда:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n). \]
Для уравнения:
\[ x^2-5x+6=0 \]
ищем числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(-5\).
Составим пары множителей числа \(6\):
\[ 1\cdot6=6,\qquad 2\cdot3=6. \]
Так как произведение положительное, числа должны иметь одинаковые знаки. Сумма отрицательная — значит, оба числа отрицательные:
\[ -2\cdot(-3)=6,\qquad -2+(-3)=-5. \]
Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Правило для знаков:
- произведение \(+\), сумма \(+\) → оба числа положительные;
- произведение \(+\), сумма \(-\) → оба отрицательные;
- произведение \(-\) → числа разных знаков.
