Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \[ \frac{a^2-25}{15+3a}=\frac{a-5}{3},\qquad a\ne-5. \]

2. \[ \frac{2x^2-2y^2}{6(x+y)}=\frac{x-y}{3},\qquad x+y\ne0. \]

3. \[ \frac{(3a-3c)^2}{9c^2-9a^2} =\frac{c-a}{a+c},\qquad a\ne c,\ a\ne-c. \]

4. \[ \frac{25-x^2}{25-5x}=\frac{x+5}{5},\qquad x\ne5. \]

Решение

Используем разложение на множители и сокращаем только общие множители.

1. Разность квадратов: \[ a^2-25=(a-5)(a+5), \] \[ 15+3a=3(a+5). \] Тогда \[ \frac{(a-5)(a+5)}{3(a+5)} =\frac{a-5}{3}. \] При этом \(a+5\ne0\), то есть \(a\ne-5\).

2. Вынесем общий множитель и применим формулу разности квадратов: \[ 2x^2-2y^2=2(x^2-y^2)=2(x-y)(x+y). \] Получаем: \[ \frac{2(x-y)(x+y)}{6(x+y)} =\frac{x-y}{3}. \] Ограничение: \(x+y\ne0\).

3. Разложим числитель и знаменатель: \[ (3a-3c)^2=9(a-c)^2, \] \[ 9c^2-9a^2=9(c^2-a^2)=9(c-a)(c+a). \] Так как \(c-a=-(a-c)\), то \[ \frac{9(a-c)^2}{9(c-a)(c+a)} =\frac{c-a}{c+a} =\frac{c-a}{a+c}. \] Ограничения: \(c-a\ne0\) и \(c+a\ne0\), то есть \(a\ne c,\ a\ne-c\).

4. Разложим числитель: \[ 25-x^2=(5-x)(5+x), \] \[ 25-5x=5(5-x). \] Тогда \[ \frac{(5-x)(5+x)}{5(5-x)} =\frac{x+5}{5}. \] Ограничение: \(5-x\ne0\), поэтому \(x\ne5\).

Проверка: ограничения получены из исходных знаменателей, поэтому сокращённые дроби равны исходным на всех допустимых значениях переменных.