Реши задание на изображении

Краткий ответ:

5. \[ \frac{x^2-9}{3x-9}=\frac{x+3}{3},\qquad x\ne3. \]

6. \[ \frac{8-3x}{9x^2-64}=-\frac1{3x+8},\qquad x\ne\pm\frac83. \]

7. \[ \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{x+y},\qquad x\ne y,\ x\ne-y. \]

Решение

5. Разложим на множители:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \]

\[ 3x-9=3(x-3). \]

Сокращаем общий множитель \(x-3\):

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{3(x-3)} =\frac{x+3}{3}. \]

Ограничение: \(3x-9\ne0\), поэтому \(x\ne3\).

6. Представим числитель и знаменатель в нужном виде:

\[ 8-3x=-(3x-8), \]

\[ 9x^2-64=(3x-8)(3x+8). \]

Тогда

\[ \frac{8-3x}{9x^2-64} = \frac{-(3x-8)}{(3x-8)(3x+8)} = -\frac1{3x+8}. \]

Ограничения:

\[ 3x-8\ne0,\qquad 3x+8\ne0, \]

значит,

\[ x\ne\frac83,\qquad x\ne-\frac83. \]

7. Знаменатель — разность квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Поэтому

\[ \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}. \]

Ограничения: \(x-y\ne0\) и \(x+y\ne0\), то есть

\[ x\ne y,\qquad x\ne-y. \]

Принцип: сначала разложи числитель и знаменатель на множители, затем сократи только одинаковые множители.