Реши не через x
Ответ:
\(\boxed{AB=2a,\quad DB=4a}\).
\(\boxed{AK=\dfrac m4,\quad CD=\dfrac m2}\).
Ключевые шаги
Так как \(ABCD\) — прямоугольник, \(\angle ADC=90^\circ\). Поэтому в треугольнике \(ACD\):
\[ \angle CAD=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ. \]
Это прямоугольный треугольник \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), значит его гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета:
\[ AC=2CD. \]
Поскольку \(AB=CD\), получаем:
\[ AC=2AB. \]
В треугольнике \(ABK\):
\[ BK\perp AC,\qquad \angle BAK=60^\circ, \]
поэтому
\[ AK=AB\cos60^\circ=\frac{AB}{2}. \]
Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), следовательно:
\[ AO=\frac{AC}{2}=AB. \]
Тогда
\[ OK=AO-AK=AB-\frac{AB}{2}=\frac{AB}{2}. \]
1) Если \(OK=a\)
\[ \frac{AB}{2}=a \Rightarrow AB=2a. \]
Диагонали прямоугольника равны, а \(AC=2AB\), значит:
\[ DB=AC=4a. \]
2) Если \(AC=m\)
\[ CD=AB=\frac{AC}{2}=\frac m2, \]
\[ AK=\frac{AB}{2}=\frac m4. \]
Проверка: при \(AC=m\) действительно \(AO=m/2\), \(AK=m/4\), поэтому \(OK=m/4\).
Обсуждение
2 сообщенияРеши нормально для 8 класса без предложений и в конце обясни по какому свойству признаку и т д
Решение без переменной \(x\) и без тригонометрии
\[ \angle ADC=90^\circ,\qquad \angle ACD=60^\circ \]
\[ \angle CAD=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ \]
В прямоугольном треугольнике \(ACD\):
\[ AC=2CD \]
Так как \(ABCD\) — прямоугольник:
\[ AB=CD \]
Следовательно,
\[ AC=2AB \]
Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\):
\[ AO=\frac{AC}{2}=AB \]
Так как \(BK\perp AC\):
\[ \angle AKB=90^\circ \]
\[ \angle BAK=60^\circ,\qquad \angle ABK=30^\circ \]
В прямоугольном треугольнике \(ABK\):
\[ AK=\frac{AB}{2} \]
Тогда:
\[ OK=AO-AK=AB-\frac{AB}{2}=\frac{AB}{2} \]
1. Если \(OK=a\)
\[ \frac{AB}{2}=a \]
\[ AB=2a \]
\[ AC=2AB=4a \]
Диагонали прямоугольника равны:
\[ BD=AC=4a \]
\[ \boxed{AB=2a,\qquad BD=4a} \]
2. Если \(AC=m\)
\[ AB=CD=\frac{AC}{2}=\frac m2 \]
\[ AK=\frac{AB}{2}=\frac m4 \]
\[ \boxed{AK=\frac m4,\qquad CD=\frac m2} \]
Использованные свойства
В прямоугольнике противоположные стороны равны: \[ AB=CD. \]
Диагонали прямоугольника равны: \[ AC=BD. \]
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: \[ AO=\frac{AC}{2}. \]
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ AK=\frac{AB}{2}. \]
Если точка \(K\) находится между \(A\) и \(O\), то: \[ OK=AO-AK. \]
