194 сделай и 195
Краткий ответ
194
Все графики \(y=a^x\) проходят через точку \((0;1)\), расположены выше оси \(Ox\), а ось \(Ox\) является горизонтальной асимптотой.
| Функция | Поведение | Точки для построения |
|---|---|---|
| \(y=0{,}4^x\) | убывает | \((-1;2{,}5),\ (0;1),\ (1;0{,}4)\) |
| \(y=(\sqrt2)^x\) | возрастает | \(\left(-1;\frac1{\sqrt2}\right),\ (0;1),\ (1;\sqrt2)\) |
| \(y=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x\) | убывает | \((-\!1;\sqrt2),\ (0;1),\ \left(1;\frac1{\sqrt2}\right)\) |
| \(y=(\sqrt3)^x\) | возрастает | \(\left(-1;\frac1{\sqrt3}\right),\ (0;1),\ (1;\sqrt3)\) |
На рисунке отметь указанные точки и соедини их плавной экспоненциальной кривой.
195
- \(1{,}7^3>1\);
- \(0{,}3^2<1\);
- \(3{,}2^{1{,}5}<3{,}2^{1{,}6}\);
- \(0{,}2^{-3}>0{,}2^{-2}\);
- \(\left(\frac15\right)^{\sqrt2}<\left(\frac15\right)^{1{,}4}\);
- \(3^\pi>3^{3{,}14}\).
Объяснение
Для показательной функции \(y=a^x\):
- если \(a>1\), функция возрастает;
- если \(0<a<1\), функция убывает.
Поэтому:
- \(1{,}7\), \(3{,}2\), \(3\), \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) больше \(1\);
- \(0{,}4\), \(0{,}3\), \(0{,}2\), \(\frac1{\sqrt2}\), \(\frac15\) находятся между \(0\) и \(1\).
В пунктах 5 и 6 сравним показатели:
\[ \sqrt2\approx1{,}414>1{,}4,\qquad \pi\approx3{,}14159>3{,}14. \]
Так как в пункте 5 основание меньше \(1\), при большем показателе значение меньше. В пункте 6 основание больше \(1\), поэтому при большем показателе значение больше.
Проверка пункта 4:
\[ 0{,}2^{-3}=\frac1{0{,}2^3}=125,\qquad 0{,}2^{-2}=\frac1{0{,}2^2}=25, \]
значит, \(125>25\).
Обсуждение
14 сообщенийПокажи построение графика для основания 0,4
Строим график функции
\[ y=0{,}4^x. \]
1. Составим таблицу значений
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=0{,}4^x&6{,}25&2{,}5&1&0{,}4&0{,}16 \end{array} \]
Например:
\[ 0{,}4^{-1}=\frac1{0{,}4}=2{,}5,\qquad 0{,}4^0=1,\qquad 0{,}4^1=0{,}4. \]
2. Отметим точки
\[ (-2;6{,}25),\quad (-1;2{,}5),\quad (0;1),\quad (1;0{,}4),\quad (2;0{,}16). \]
Схематично:
y
6,25 | ●
|
2,5 | ●
|
1 | ●
|
0,4 | ●
|
0,16 | ●
|____________________________ x
-2 -1 0 1 2
3. Соединим точки плавной кривой
График убывает слева направо, проходит через точку \((0;1)\) и всё ближе подходит к оси \(Ox\), но не пересекает её.
Поскольку
\[ 0<0{,}4<1, \]
функция \(y=0{,}4^x\) является убывающей.
Покажи построение графика для основания у=(√2)х
Строим график функции
\[ y=(\sqrt2)^x. \]
1. Составим таблицу значений
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=(\sqrt2)^x& \dfrac12& \dfrac1{\sqrt2}\approx0{,}71& 1& \sqrt2\approx1{,}41& 2 \end{array} \]
Например:
\[ (\sqrt2)^{-2}=\frac1{(\sqrt2)^2}=\frac12, \qquad (\sqrt2)^0=1, \qquad (\sqrt2)^2=2. \]
2. Отметим точки
\[ \left(-2;\frac12\right),\quad \left(-1;\frac1{\sqrt2}\right),\quad (0;1),\quad (1;\sqrt2),\quad (2;2). \]
Схематично:
y
2,0 | ● (2; 2)
|
1,4 | ● (1; √2)
|
1,0 | ● (0; 1)
|
0,7 | ● (-1; 1/√2)
|
0,5 | ● (-2; 1/2)
|________________________________ x
-2 -1 0 1 2
Соедини точки плавной возрастающей кривой.
Так как
\[ \sqrt2>1, \]
график функции \(y=(\sqrt2)^x\) возрастает, проходит через точку \((0;1)\) и приближается к оси \(Ox\), но не пересекает её.
А как ты считаешь таблицу значений?
Чтобы заполнить таблицу для функции
\[ y=(\sqrt2)^x, \]
берём несколько значений \(x\) и подставляем их в формулу.
Используем правила:
\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Вычисления
1. При \(x=-2\):
\[ y=(\sqrt2)^{-2} =\frac1{(\sqrt2)^2} =\frac12. \]
2. При \(x=-1\):
\[ y=(\sqrt2)^{-1} =\frac1{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71. \]
3. При \(x=0\):
\[ y=(\sqrt2)^0=1. \]
4. При \(x=1\):
\[ y=(\sqrt2)^1=\sqrt2\approx1{,}41. \]
5. При \(x=2\):
\[ y=(\sqrt2)^2=2. \]
Получается таблица:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&\frac12&\frac1{\sqrt2}&1&\sqrt2&2\\ y\text{ приближённо}&0{,}5&0{,}71&1&1{,}41&2 \end{array} \]
Затем на координатной плоскости отмечаем точки:
\[ (-2;0{,}5),\quad(-1;0{,}71),\quad(0;1),\quad(1;1{,}41),\quad(2;2). \]
Как считать таблицу значений
Для графика функции
\[ y=(\sqrt2)^x \]
делаем так: выбираем значения \(x\), подставляем их в формулу и вычисляем \(y\).
Возьмём \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | Вычисление | \(y\) |
|---|---|---|
| \(-2\) | \((\sqrt2)^{-2}=\dfrac1{(\sqrt2)^2}\) | \(\dfrac12=0{,}5\) |
| \(-1\) | \((\sqrt2)^{-1}=\dfrac1{\sqrt2}\) | \(\approx0{,}71\) |
| \(0\) | \((\sqrt2)^0\) | \(1\) |
| \(1\) | \((\sqrt2)^1\) | \(\sqrt2\approx1{,}41\) |
| \(2\) | \((\sqrt2)^2\) | \(2\) |
Используем правила:
\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad (\sqrt2)^2=2. \]
Получаем точки для графика:
\[ (-2;0{,}5),\quad(-1;0{,}71),\quad(0;1),\quad(1;1{,}41),\quad(2;2). \]
То есть каждый раз выбираем \(x\), подставляем его вместо степени и находим соответствующее значение \(y\).
201 реши
Пришли, пожалуйста, фото или текст условия задания 201 — без условия нельзя решить его точно.
201
Задание 201
Для построения используем график \(y=a^x\), а затем выполняем сдвиг.
1) \(y=3^x-2\)
Это график \(y=3^x\), сдвинутый вниз на 2 единицы.
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-1&0&1&2\\ \hline y=3^x-2&-\frac53&-1&1&7 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(-1;-\frac53\right),\quad (0;-1),\quad (1;1),\quad (2;7). \]
График возрастает, горизонтальная асимптота:
\[ y=-2. \]
2) \(y=\left(\frac12\right)^x+3\)
Это график \(y=\left(\frac12\right)^x\), сдвинутый вверх на 3 единицы.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&7&5&4&\frac72&\frac{13}{4} \end{array} \]
Точки:
\[ (-2;7),\quad (-1;5),\quad (0;4),\quad \left(1;\frac72\right),\quad \left(2;\frac{13}{4}\right). \]
График убывает, горизонтальная асимптота:
\[ y=3. \]
3) \(y=2^{x+1}\)
Это график \(y=2^x\), сдвинутый влево на 1 единицу.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&\frac14&\frac12&1&2&4 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(-3;\frac14\right),\quad \left(-2;\frac12\right),\quad (-1;1),\quad (0;2),\quad (1;4). \]
График возрастает, горизонтальная асимптота:
\[ y=0. \]
4) \(y=3^{x-2}\)
Это график \(y=3^x\), сдвинутый вправо на 2 единицы.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&\frac19&\frac13&1&3&9 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(0;\frac19\right),\quad \left(1;\frac13\right),\quad (2;1),\quad (3;3),\quad (4;9). \]
График возрастает, горизонтальная асимптота:
\[ y=0. \]
Отметь точки каждого пункта на координатной плоскости и соедини их плавной кривой.
Построй все эти Графики
Построим каждый график по точкам. Для каждого графика:
- проведи горизонтальную асимптоту пунктиром;
- отметь точки;
- соедини их плавной кривой.
1. \(y=3^x-2\)
График \(y=3^x\) сдвинут вниз на \(2\) единицы.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-\frac{17}{9}&-\frac53&-1&1&7\\ y\text{ приближённо}&-1{,}89&-1{,}67&-1&1&7 \end{array} \]
Отметь точки:
\[ \left(-2;-\frac{17}{9}\right),\quad \left(-1;-\frac53\right),\quad (0;-1),\quad (1;1),\quad (2;7). \]
Асимптота:
\[ y=-2. \]
График возрастает:
● (2;7)
/
● (1;1)
/
● (0;-1)
/
●
···························· y = -2
2. \(y=\left(\frac12\right)^x+3\)
График \(y=\left(\frac12\right)^x\) сдвинут вверх на \(3\) единицы.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&7&5&4&\frac72&\frac{13}{4} \end{array} \]
Отметь точки:
\[ (-2;7),\quad (-1;5),\quad (0;4),\quad \left(1;\frac72\right),\quad \left(2;\frac{13}{4}\right). \]
Асимптота:
\[ y=3. \]
График убывает:
● (-2;7)
\
● (-1;5)
\
● (0;4)
\
● (1;3,5) ─ ● (2;3,25)
···························· y = 3
3. \(y=2^{x+1}\)
График \(y=2^x\) сдвинут влево на \(1\) единицу.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&\frac14&\frac12&1&2&4 \end{array} \]
Отметь точки:
\[ \left(-3;\frac14\right),\quad \left(-2;\frac12\right),\quad (-1;1),\quad (0;2),\quad (1;4). \]
Асимптота:
\[ y=0. \]
График возрастает:
● (1;4)
/
● (0;2)
/
● (-1;1)
/
● (-3;0,25) ● (-2;0,5)
···························· y = 0
4. \(y=3^{x-2}\)
График \(y=3^x\) сдвинут вправо на \(2\) единицы.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&\frac19&\frac13&1&3&9 \end{array} \]
Отметь точки:
\[ \left(0;\frac19\right),\quad \left(1;\frac13\right),\quad (2;1),\quad (3;3),\quad (4;9). \]
Асимптота:
\[ y=0. \]
График возрастает:
● (4;9)
/
● (3;3)
/
● (2;1)
/
● (0;1/9) ● (1;1/3)
···························· y = 0
Графики \(1\), \(3\) и \(4\) возрастают, а график \(2\) убывает.
