1.163 1.166

Понял. Оформим 1.163 и 1.166 по твоей схеме: «дано → формула → подстановка → ответ».

Важно: при свободном падении скорость меняется, поэтому используем среднюю скорость:

\[ s=v_{\text{ср}}t,\qquad v_{\text{ср}}=\frac{v_0+v}{2}. \]

1.163

Дано:

\[ H=120\ \text{м},\qquad h=55\ \text{м},\qquad v_0=0, \qquad g=10\ \text{м/с}^2. \]

\[ v-? \]

Пройденный путь:

\[ s=H-h=120-55=65\ \text{м}. \]

Время падения:

\[ v=gt \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v}{g}. \]

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{v_0+v}{2}=\frac v2. \]

Используем \(s=v_{\text{ср}}t\):

\[ 65=\frac v2\cdot\frac v{10}, \]

\[ 65=\frac{v^2}{20}, \]

\[ v^2=1300, \]

\[ v=\sqrt{1300}\approx36\ \text{м/с}. \]

Ответ:

\[ \boxed{v\approx36\ \text{м/с}}. \]

---

1.166

Дано:

\[ s_{\text{посл}}=225\ \text{м},\qquad \Delta t=3\ \text{с},\qquad g=10\ \text{м/с}^2. \]

\[ H-? \]

Пусть всё падение длилось \(t\) секунд.

Скорость в начале последних \(3\) секунд:

\[ v_1=g(t-3). \]

Скорость в конце падения:

\[ v_2=gt. \]

Средняя скорость на последних \(3\) секундах:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{v_1+v_2}{2}. \]

Тогда:

\[ 225=\frac{10(t-3)+10t}{2}\cdot3. \]

\[ 225=\frac{10t-30+10t}{2}\cdot3, \]

\[ 225=(10t-15)\cdot3, \]

\[ 225=30t-45, \]

\[ 30t=270, \]

\[ t=9\ \text{с}. \]

Вся высота:

\[ H=v_{\text{ср}}t. \]

Средняя скорость за всё падение:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{0+gt}{2} =\frac{10\cdot9}{2}=45\ \text{м/с}. \]

\[ H=45\cdot9=405\ \text{м}. \]

Ответ:

\[ \boxed{H=405\ \text{м}}. \]

1.147

Տրված է

\[ x_1=6t+0{,}5t^2,\qquad \Delta t=6\ \text{վ},\qquad a_2=8\ \text{մ/վ}^2. \]

Գտնել՝

\[ \frac{v_1}{v_2} \]

այն պահին, երբ երկրորդ մարմինը հասնում է առաջինին։

1. Առաջին մարմնի արագությունը

\[ v_1=\frac{dx_1}{dt}=6+t. \]

Երկրորդ մարմինը շարժումը սկսում է \(6\) վայրկյան անց։ Եթե առաջին մարմնի շարժման սկզբից անցել է \(t\) ժամանակ, ապա երկրորդի շարժման ժամանակը կլինի \(t-6\)։

2. Երկրորդ մարմնի անցած ճանապարհը

Երկրորդ մարմինը սկսում է հանգստից, հետևաբար՝

\[ x_2=\frac{a_2(t-6)^2}{2} =\frac{8(t-6)^2}{2} =4(t-6)^2. \]

Երբ երկրորդ մարմինը հասնում է առաջինին՝

\[ x_1=x_2. \]

Ուրեմն՝

\[ 6t+0{,}5t^2=4(t-6)^2. \]

Բացենք փակագծերը․

\[ 6t+0{,}5t^2=4t^2-48t+144, \]

\[ 7t^2-108t+288=0. \]

\[ t=\frac{108\pm\sqrt{108^2-4\cdot7\cdot288}}{14} =\frac{108\pm60}{14}. \]

Ստանում ենք՝

\[ t=12\ \text{վ} \]

կամ \(t=\frac{24}{7}\ \text{վ}\), բայց երկրորդ արժեքը չի համապատասխանում \(t\ge6\) պայմանին։

3. Արագությունների հարաբերությունը

Առաջին մարմնի արագությունը՝

\[ v_1=6+12=18\ \text{մ/վ}. \]

Երկրորդ մարմնի արագությունը՝

\[ v_2=a_2(t-6)=8(12-6)=48\ \text{մ/վ}. \]

Հետևաբար՝

\[ \frac{v_1}{v_2}=\frac{18}{48}=\frac38. \]

Պատասխան՝

\[ \boxed{\frac{v_1}{v_2}=\frac38=0{,}375}. \]

Общий способ решения задач о свободном падении

Свободное падение — это движение тела только под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Обычно принимают:

\[ g\approx 10\ \text{м/с}^2 \]

или \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\), если это указано в условии.

---

1. Запиши данные

Обозначь:

• \(v_0\) — начальная скорость;
• \(v\) — конечная скорость;
• \(t\) — время движения;
• \(s\) или \(h\) — пройденный путь или высота;
• \(g\) — ускорение свободного падения.

Если тело роняют, то:

\[ v_0=0. \]

---

2. Выбери подходящие формулы

Если тело движется вниз и начальная скорость направлена вниз:

\[ s=v_0t+\frac{gt^2}{2}, \]

\[ v=v_0+gt, \]

\[ v^2=v_0^2+2gs, \]

\[ s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t. \]

Для тела, падающего без начальной скорости:

\[ \boxed{s=\frac{gt^2}{2}}, \]

\[ \boxed{v=gt}, \]

\[ \boxed{v^2=2gs}, \]

\[ \boxed{t=\sqrt{\frac{2s}{g}}}. \]

---

3. Обрати внимание на высоту

Если тело падает с высоты \(H\), то

\[ s=H. \]

Если тело находится на высоте \(h\) над землёй, а начальная высота равна \(H\), то оно прошло путь

\[ s=H-h. \]

Например, тело падает с высоты \(120\) м. На высоте \(55\) м оно прошло:

\[ s=120-55=65\ \text{м}. \]

Тогда его скорость:

\[ v=\sqrt{2gs} =\sqrt{2\cdot10\cdot65} \approx36\ \text{м/с}. \]

---

4. Если спрашивают путь за последние секунды

Пусть всё падение длилось \(T\) секунд, а за последние \(\Delta t\) секунд тело прошло путь \(s_{\text{посл}}\). Тогда:

\[ s_{\text{посл}}=s(T)-s(T-\Delta t). \]

Для падения без начальной скорости:

\[ s_{\text{посл}} =\frac{gT^2}{2} -\frac{g(T-\Delta t)^2}{2}. \]

После нахождения \(T\) высоту находят по формуле:

\[ H=\frac{gT^2}{2}. \]

---

5. Общий алгоритм

1. Сделай краткую запись «Дано».
2. Переведи все величины в СИ: метры, секунды, \(\text{м/с}\).
3. Определи начальную скорость: при падении без толчка \(v_0=0\).
4. Найди именно пройденный путь \(s\), если дана высота над землёй.
5. Выбери формулу, содержащую искомую величину.
6. Подставь числа и вычисли.
7. Проверь единицы измерения и разумность ответа.

Главное правило: сначала определить, какой путь прошло тело, и только потом выбирать формулу.

Оформим 1.147 по схеме: дано → формулы → решение → ответ.

1.147

Дано

Движение первого тела:

\[ x_1=6t+0{,}5t^2. \]

Второе тело начинает движение через

\[ \tau=6\ \text{с} \]

после первого и движется из состояния покоя с ускорением

\[ a_2=8\ \text{м/с}^2. \]

Найти:

\[ \frac{v_1}{v_2} \]

в момент, когда второе тело догонит первое.

---

Решение

Пусть \(t\) — время движения первого тела. Тогда второе тело движется в течение времени

\[ t-6. \]

Координата второго тела:

\[ x_2=\frac{a_2(t-6)^2}{2} =4(t-6)^2. \]

В момент встречи координаты тел равны:

\[ x_1=x_2. \]

Подставим выражения:

\[ 6t+0{,}5t^2=4(t-6)^2. \]

Раскроем скобки:

\[ 6t+0{,}5t^2=4t^2-48t+144, \]

\[ 7t^2-108t+288=0. \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ t=\frac{108\pm60}{14}. \]

\[ t_1=12\ \text{с},\qquad t_2=\frac{24}{7}\ \text{с}. \]

Второе тело начинает движение только через \(6\) с, поэтому подходит:

\[ t=12\ \text{с}. \]

Скорость первого тела:

\[ v_1=\frac{dx_1}{dt}=6+t, \]

\[ v_1=6+12=18\ \text{м/с}. \]

Скорость второго тела:

\[ v_2=a_2(t-6), \]

\[ v_2=8(12-6)=48\ \text{м/с}. \]

Тогда:

\[ \frac{v_1}{v_2} =\frac{18}{48} =\frac38. \]

Ответ

\[ \boxed{\frac{v_1}{v_2}=\frac38=0{,}375}. \]

Общий способ решения задач о свободном падении

Свободное падение — движение тела под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

\[ g\approx10\ \text{м/с}^2 \]

1. Запиши «Дано»

Обозначения:

• \(v_0\) — начальная скорость;
• \(v\) — конечная скорость;
• \(t\) — время;
• \(s\) — пройденный путь;
• \(g\) — ускорение свободного падения.

Если тело просто отпустили:

\[ v_0=0. \]

2. Выбери направление

Обычно направление вниз считают положительным. Тогда:

\[ s=v_0t+\frac{gt^2}{2}, \]

\[ v=v_0+gt, \]

\[ v^2=v_0^2+2gs, \]

\[ s=\frac{v_0+v}{2}\,t. \]

3. Если тело падает без начальной скорости

При \(v_0=0\):

\[ \boxed{s=\frac{gt^2}{2}}, \]

\[ \boxed{v=gt}, \]

\[ \boxed{v^2=2gs}, \]

\[ \boxed{t=\sqrt{\frac{2s}{g}}}. \]

4. Как определить путь

Если тело падает с высоты \(H\) до земли:

\[ s=H. \]

Если оно находится на высоте \(h\), начав падение с высоты \(H\):

\[ s=H-h. \]

5. Если дан путь за последние секунды

Пусть всё падение длилось \(T\) секунд, а последние \(\Delta t\) секунд тело прошло путь \(s_{\text{посл}}\). Тогда:

\[ s_{\text{посл}} =\frac{gT^2}{2} -\frac{g(T-\Delta t)^2}{2}. \]

Сначала находят \(T\), затем всю высоту:

\[ H=\frac{gT^2}{2}. \]

Алгоритм решения

1. Записать «Дано» и «Найти».
2. Перевести величины в СИ.
3. Определить \(v_0\).
4. Найти именно пройденный путь \(s\).
5. Выбрать подходящую формулу.
6. Подставить значения.
7. Записать ответ с единицами измерения.

Пример: тело упало на \(45\) м без начальной скорости:

\[ v=\sqrt{2gs} =\sqrt{2\cdot10\cdot45} =30\ \text{м/с}. \]

Ответ:

\[ \boxed{30\ \text{м/с}}. \]

1.163

\[ s=120-55=65\ \text{м} \]

\[ v=\sqrt{2gs}=\sqrt{2\cdot10\cdot65}\approx36\ \text{м/с} \]

Ответ: \(\boxed{36\ \text{м/с}}\).

1.166

\[ 225=5t^2-5(t-3)^2 \]

\[ t=9\ \text{с} \]

\[ H=\frac{gt^2}{2}=5\cdot9^2=405\ \text{м} \]

Ответ: \(\boxed{405\ \text{м}}\).