73

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle \frac{4(a-3)}{5}\), при \(a\ne -3,\; a\ne 3\).

б) \(\displaystyle -ab\), при \(a\ne 0,\; a\ne b,\; a\ne -b\).

а) Решение

Разложим на множители:

\[ a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9), \]

\[ 6a-18=6(a-3),\qquad 5a-15=5(a-3), \]

\[ 4a^3+108=4(a+3)(a^2-3a+9). \]

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ \begin{aligned} &\frac{a-3}{a^2-3a+9} -\frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}\\ &=\frac{(a-3)(a+3)-6(a-3)} {(a+3)(a^2-3a+9)}\\ &=\frac{(a-3)\bigl(a+3-6\bigr)} {(a+3)(a^2-3a+9)}\\ &=\frac{(a-3)^2} {(a+3)(a^2-3a+9)}. \end{aligned} \]

Теперь деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)} \]

\[ =\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} \cdot \frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)} =\frac{4(a-3)}5. \]

б) Решение

Разложим первую дробь:

\[ ab^2-a^2b=ab(b-a)=-ab(a-b). \]

Тогда

\[ \frac{ab^2-a^2b}{a+b} =\frac{-ab(a-b)}{a+b}. \]

Упростим сложную дробь:

\[ a+\frac{ab}{a-b} =\frac{a(a-b)+ab}{a-b} =\frac{a^2}{a-b}, \]

\[ a-\frac{ab}{a+b} =\frac{a(a+b)-ab}{a+b} =\frac{a^2}{a+b}. \]

Следовательно,

\[ \frac{a+\frac{ab}{a-b}} {a-\frac{ab}{a+b}} = \frac{\frac{a^2}{a-b}}{\frac{a^2}{a+b}} =\frac{a+b}{a-b}. \]

Получаем:

\[ \frac{-ab(a-b)}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b} =-ab. \]

Проверка: при \(a=2,\ b=1\) исходное выражение равно \(-2\), и результат \(-ab=-2\).