Реши задание на изображении
Краткие ответы
\(x=-5,\,-3,\,3\).
\(200\) м.
\[ m\in\{-5\}\cup[-4;\,-1]. \]
\(BN=52\).
\[ S_{BEC}+S_{AED}=\frac12S_{ABCD}. \]
\(S_{ABCD}=32\).
Решение
20
Разложим многочлен группировкой:
\[ x^3+5x^2-9x-45=0, \]
\[ x^2(x+5)-9(x+5)=0, \]
\[ (x+5)(x^2-9)=0, \]
\[ (x+5)(x-3)(x+3)=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=-5,\,-3,\,3}. \]
21
Поезд и пешеход движутся в одном направлении, поэтому скорость поезда относительно пешехода:
\[ 93-3=90\text{ км/ч}. \]
Переведём в метры в секунду:
\[ 90\cdot\frac{1000}{3600}=25\text{ м/с}. \]
За \(8\) секунд поезд относительно пешехода пройдёт расстояние, равное длине поезда:
\[ L=25\cdot 8=200\text{ м}. \]
\[ \boxed{200\text{ м}} \]
22
Функция задана так:
\[ y= \begin{cases} x^2+4x-1,& x\ge -4,\\ x,& x<-4. \end{cases} \]
Парабола:
\[ x^2+4x-1=(x+2)^2-5. \]
Её вершина — точка \((-2;-5)\). При \(x=-4\) получаем точку \((-4;-1)\), которая входит в график.
Вторая часть — прямая \(y=x\) при \(x<-4\), поэтому точка \((-4;-4)\) не входит в график.
Рассмотрим пересечения с прямой \(y=m\):
- с прямой \(y=x\) пересечение есть только при \(m<-4\);
- с параболой:
- при \(m=-5\) — одно пересечение;
- при \(-5<m\le -1\) — два пересечения;
- при \(m>-1\) — одно пересечение.
При \(m=-5\) одно пересечение даёт прямая и одно — парабола, всего два.
При \(-4\le m\le -1\) пересечения с прямой нет, а с параболой их два.
Следовательно,
\[ \boxed{m=-5\quad\text{или}\quad -4\le m\le -1}. \]
23
Так как \(MN\parallel AC\), треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны:
\[ \frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}=\frac{20}{35}=\frac47. \]
Пусть \(BN=x\). Тогда
\[ BC=BN+NC=x+39. \]
Получаем:
\[ \frac{x}{x+39}=\frac47. \]
\[ 7x=4x+156, \]
\[ 3x=156, \]
\[ x=52. \]
\[ \boxed{BN=52}. \]
Проверка: \(BC=52+39=91\), и \(\frac{52}{91}=\frac47\).
24
Пусть основания трапеции равны \(AD=a\) и \(BC=b\), а её высота равна \(h\).
Средняя линия трапеции находится на равном расстоянии от оснований, поэтому расстояние от точки \(E\) до каждого основания равно \(\frac h2\).
Тогда
\[ S_{BEC}=\frac12\cdot BC\cdot\frac h2=\frac{bh}{4}, \]
\[ S_{AED}=\frac12\cdot AD\cdot\frac h2=\frac{ah}{4}. \]
Складываем:
\[ S_{BEC}+S_{AED} =\frac{ah}{4}+\frac{bh}{4} =\frac{(a+b)h}{4}. \]
Площадь трапеции:
\[ S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}. \]
Следовательно,
\[ \frac12S_{ABCD} =\frac{(a+b)h}{4} =S_{BEC}+S_{AED}. \]
Что и требовалось доказать.
25
Точка \(K\) лежит на биссектрисе угла \(A\), поэтому её расстояния до прямых \(AB\) и \(AD\) равны:
\[ d(K,AB)=d(K,AD)=8. \]
Так как \(K\) лежит и на биссектрисе угла \(B\), то
\[ d(K,AB)=d(K,BC)=8. \]
Прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны, а точка \(K\) находится между ними. Поэтому расстояние между ними равно:
\[ 8+8=16. \]
Это высота параллелограмма при основании \(BC\). Так как \(BC=2\),
\[ S_{ABCD}=BC\cdot h=2\cdot16=32. \]
\[ \boxed{S_{ABCD}=32}. \]
