Сделай с 463 по 470
Краткие ответы:
- 463: а) \(540^\circ\); б) \(720^\circ\); в) \(1440^\circ\).
- 464: а) \(5\); б) \(54\); в) \(170\) диагоналей.
- 465: а) \(4\); б) \(3\); в) \(6\); г) \(5\) сторон.
- 466: \(23\text{ мм}, 20\text{ мм}, 19\text{ мм}, 18\text{ мм}\).
- 467: \(15\text{ см}, 7\text{ см}, 23\text{ см}, 21\text{ см}\).
- 468: по \(90^\circ\).
- 469: \(\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ\).
- 470: \(30^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ\).
Решение
463
Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника вычисляется по формуле:
\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]
а) Для пятиугольника:
\[ S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ. \]
б) Для шестиугольника:
\[ S=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ. \]
в) Для десятиугольника:
\[ S=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. \]
464
Количество диагоналей \(n\)-угольника:
\[ d=\frac{n(n-3)}2. \]
а) Пятиугольник:
\[ d=\frac{5(5-3)}2=5. \]
б) Двенадцатиугольник:
\[ d=\frac{12(12-3)}2=\frac{12\cdot9}{2}=54. \]
в) Двадцатиугольник:
\[ d=\frac{20(20-3)}2=\frac{20\cdot17}{2}=170. \]
465
Если все углы равны \(\alpha\), то:
\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \]
Отсюда:
\[ n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}. \]
а) При \(\alpha=90^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-90}=4. \]
б) При \(\alpha=60^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-60}=3. \]
в) При \(\alpha=120^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-120}=6. \]
г) При \(\alpha=108^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-108}=5. \]
466
Переведём периметр в миллиметры:
\[ 8\text{ см}=80\text{ мм}. \]
Пусть самая большая сторона равна \(x\) мм. Тогда остальные стороны равны:
\[ x-3,\quad x-4,\quad x-5. \]
Составим уравнение:
\[ x+(x-3)+(x-4)+(x-5)=80. \]
\[ 4x-12=80,\qquad 4x=92,\qquad x=23. \]
Следовательно, стороны:
\[ 23\text{ мм},\quad20\text{ мм},\quad19\text{ мм},\quad18\text{ мм}. \]
Проверка:
\[ 23+20+19+18=80\text{ мм}=8\text{ см}. \]
467
Пусть вторая сторона равна \(x\) см. Тогда:
- первая сторона: \(x+8\);
- третья сторона на \(8\) см больше первой: \(x+16\);
- четвёртая сторона: \(3x\).
По условию:
\[ x+(x+8)+(x+16)+3x=66. \]
\[ 6x+24=66,\qquad 6x=42,\qquad x=7. \]
Стороны:
\[ a_2=7\text{ см}, \]
\[ a_1=7+8=15\text{ см}, \]
\[ a_3=15+8=23\text{ см}, \]
\[ a_4=3\cdot7=21\text{ см}. \]
468
Сумма углов четырёхугольника равна:
\[ (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ. \]
Так как углы равны:
\[ x+x+x+x=360^\circ, \]
\[ 4x=360^\circ,\qquad x=90^\circ. \]
Ответ: каждый угол равен \(90^\circ\).
469
Пусть:
\[ \angle A=\angle B=\angle C=x. \]
Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):
\[ x+x+x+135^\circ=360^\circ. \]
\[ 3x=225^\circ,\qquad x=75^\circ. \]
\[ \boxed{\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ} \]
470
Углы относятся как:
\[ 1:2:4:5. \]
Всего частей:
\[ 1+2+4+5=12. \]
Одна часть равна:
\[ \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. \]
Тогда углы:
\[ 1\cdot30^\circ=30^\circ, \]
\[ 2\cdot30^\circ=60^\circ, \]
\[ 4\cdot30^\circ=120^\circ, \]
\[ 5\cdot30^\circ=150^\circ. \]
