Сколько существует четырёхзначных чисел, в которых ровно две различные цифры?

Ответ: \(567\).

Разберём по случаям — зависит от того, есть ли среди двух цифр ноль.

1. Две цифры без нуля

Выбираем 2 цифры из \(1,2,\ldots,9\):

\[ \binom{9}{2}=36. \]

Для каждой пары составляем 4-значные последовательности, в которых используются обе цифры:

\[ 2^4-2=16-2=14. \]

Вычитаем два случая, когда используются только одинаковые цифры.

Получаем:

\[ 36\cdot14=504. \]

2. Одна из цифр — ноль

Вторую цифру можно выбрать \(9\) способами.

Первая цифра обязательно должна быть ненулевой. После неё остаются 3 позиции, на которые можно поставить \(0\) или выбранную цифру:

\[ 2^3=8. \]

Но случай, когда все три цифры одинаковы ненулевой цифре, не подходит: ноль тогда не используется. Поэтому:

\[ 8-1=7. \]

Получаем:

\[ 9\cdot7=63. \]

Всего

\[ 504+63=\boxed{567}. \]

Проверка: в каждом случае обе выбранные цифры встречаются хотя бы по одному разу, а первая цифра не равна нулю.