Сколько существует пятизначных чисел, у которых сумма цифр равна 4, а произведение цифр равно 0?

Ответ: \(\boxed{35}\).

Пусть цифры числа — \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\), причём \(a_1\neq 0\).

1. Так как сумма цифр равна \(4\), среди пяти цифр обязательно есть ноль: если бы все цифры были ненулевыми, их сумма была бы не меньше \(5\). Значит, условие \(a_1a_2a_3a_4a_5=0\) выполняется автоматически.

2. Нужно посчитать решения уравнения \[ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4, \] где \(a_1\ge 1\), остальные цифры неотрицательны.

Положим \(b_1=a_1-1\). Тогда \[ b_1+a_2+a_3+a_4+a_5=3. \]

Число неотрицательных решений: \[ \binom{3+5-1}{5-1}=\binom74=35. \]

Все цифры автоматически не превышают \(9\), поэтому ограничений дополнительно нет.