Х²(х+7)³(х+5)⁴<0 реши методом интервалов

Краткий ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;\,-7)} \]

Решение методом интервалов

Найдём нули произведения: \[ x^2(x+7)^3(x+5)^4=0. \]

Отсюда: \[ x=0,\qquad x=-7,\qquad x=-5. \]

Отмечаем их на числовой прямой: \[ -\infty\quad -7\quad -5\quad 0\quad +\infty \]

Степени множителей:

• \(x^2\) — чётная степень, знак при \(x=0\) не меняется;
• \((x+5)^4\) — чётная степень, знак при \(x=-5\) не меняется;
• \((x+7)^3\) — нечётная степень, знак при \(x=-7\) меняется.

Проверим знак на интервалах:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Интервал} & \text{Знак выражения}\\ \hline (-\infty;-7) & -\\ (-7;-5) & +\\ (-5;0) & +\\ (0;+\infty) & + \end{array} \]

Нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому подходит только интервал: \[ \boxed{(-\infty;-7)}. \]

Точки \(-7\), \(-5\) и \(0\) не включаются, так как при них выражение равно нулю.