х¹²(2х-1)⁹(2х-5)⁴≤0 реши методом интервалов

Ответ: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac12\right]\cup\left\{\frac52\right\}} \]

Решим методом интервалов: \[ x^{12}(2x-1)^9(2x-5)^4\le 0. \]

1. Найдём нули выражения

\[ x^{12}=0 \Rightarrow x=0, \] \[ (2x-1)^9=0 \Rightarrow x=\frac12, \] \[ (2x-5)^4=0 \Rightarrow x=\frac52. \]

Разбиваем числовую прямую на интервалы: \[ (-\infty;0),\quad \left(0;\frac12\right),\quad \left(\frac12;\frac52\right),\quad \left(\frac52;+\infty\right). \]

2. Определим знаки

Степени \(12\) и \(4\) чётные, поэтому множители \[ x^{12}\ge 0,\qquad (2x-5)^4\ge 0. \]

Знак произведения на промежутках определяется в основном множителем \[ (2x-1)^9, \] так как степень \(9\) нечётная:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;0) & (0;\frac12) & (\frac12;\frac52) & (\frac52;+\infty)\\ \hline \text{знак выражения} & - & - & + & + \end{array} \]

При \(x=0,\frac12,\frac52\) выражение равно нулю, поэтому эти точки включаются.

Следовательно, \[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac12\right]\cup\left\{\frac52\right\}}. \]

Проверка: при \(x=1\) выражение положительно, а при \(x=2\) равно нулю только? Нет, оно положительно; при \(x=3\) положительно. Точка \(x=\frac52\) даёт ноль и поэтому добавляется отдельно.