(12-2х)¹⁵(3х-15)⁴(1-4х)¹¹≥0 реши методом интервалов
Шаги решения неравенства
Мне нужно решить неравенство \((12-2x)^{15}(3x-15)^{4}(1-4x)^{11} \geq 0\) методом интервалов. Сначала уточню, что при необходимости \(x\) может потребоваться интерпретировать в Unicode. Затем я приведу краткие ответы, прежде чем подробно изложить основные шаги и проверить точность.
Далее я разложу константы и определю их знаки, корни и кратности. Похоже, мне нужно выразить множители через их знаки и проанализировать общий знак произведения на различных интервалах, уделив особое внимание корням \(x=5\), \(x=\frac{1}{4}\) и \(x=6\).
Анализ интервалов для неравенства
Итак, я анализирую знак выражения на основе интервалов. При \(x < \frac{1}{4}\) знак положительный. Между \(\frac{1}{4}\) и \(6\) знак отрицательный, а при \(x > 6\) он снова положительный.
В конкретных точках \(x = \frac{1}{4}\), \(x = 5\) и \(x = 6\) выражение равно нулю. Я также учитываю кратности корней: в точке \(\frac{1}{4}\) знак меняется, в точке \(5\) он не меняется (поскольку множитель имеет чётную кратность), а в точке \(6\) знак снова меняется.
Таким образом, я заключу, что решение включает \((-∞, \frac{1}{4}]\) и \(\{5\} \cup [6, ∞)\).
Ответ: \[ x\in\left(-\infty;\frac14\right]\cup\{5\}\cup[6;+\infty). \]
Решение методом интервалов
Найдём нули множителей:
\[ 12-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=6; \]
\[ 3x-15=0 \quad\Rightarrow\quad x=5; \]
\[ 1-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac14. \]
Расположим их на числовой прямой:
\[ \frac14<5<6. \]
Кратности корней:
- \(x=\frac14\) — нечётная степень \(11\), знак меняется;
- \(x=5\) — чётная степень \(4\), знак не меняется;
- \(x=6\) — нечётная степень \(15\), знак меняется.
Рассмотрим знаки на интервалах:
\[ \begin{array}{c|c} \text{Интервал} & \text{Знак выражения}\\ \hline \left(-\infty;\frac14\right) & +\\ \left(\frac14;5\right) & -\\ (5;6) & -\\ (6;+\infty) & + \end{array} \]
Так как требуется \(\ge 0\), включаем положительные интервалы и все точки, где выражение равно нулю:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac14\right]\cup\{5\}\cup[6;+\infty)}. \]
Проверка: при \(x=0\) выражение положительно, при \(x=1\) отрицательно, при \(x=5\) равно нулю, при \(x=7\) положительно — знаки определены верно.
