Есть неограниченное количество монет по 3 рубля и по 5 рублей. Какую сумму (целое положительное количество рублей) невозможно набрать этими монетами? (Перечислите все варианты.)

Краткий ответ: невозможно набрать суммы
\[ \boxed{1,\ 2,\ 4,\ 7\text{ рублей}}. \]

Любая набираемая сумма имеет вид \(3a+5b\), где \(a,b\) — неотрицательные целые числа.

Проверим небольшие суммы:

• \(1,2\) — меньше 3, набрать нельзя;
• \(3=3\) — можно;
• \(4\) — нельзя;
• \(5=5\) — можно;
• \(6=3+3\) — можно;
• \(7\) — нельзя.

Начиная с 8 рублей можно набрать любую сумму:

\[ 8=3+5,\qquad 9=3+3+3,\qquad 10=5+5. \]

Добавляя к этим суммам по 3 рубля, получаем все числа начиная с 8:

\[ 8,11,14,\ldots;\quad 9,12,15,\ldots;\quad 10,13,16,\ldots \]

Значит, других невозможных положительных сумм нет.