Вокруг стола стоят 90 стульев. На некоторых из них сидят котики, и невозможно сесть так, чтобы на соседнем стуле не оказалось котика. Какое наибольшее число стульев может быть свободно?

Ответ: 60 свободных стульев.

Пусть котики сидят на \(k\) стульях. Между двумя соседними котиками по кругу может быть не более двух свободных стульев: если свободных стульев будет три, то средний из них окажется рядом только со свободными стульями.

Значит, свободных стульев не больше \(2k\). Всего стульев \(90\), поэтому:

\[ 90-k\le 2k, \]

\[ 90\le 3k,\qquad k\ge 30. \]

Тогда свободных стульев:

\[ 90-30=60. \]

Такое размещение возможно: повторить 30 раз порядок

\[ \text{котик — свободный — свободный}. \]

Каждый свободный стул будет соседствовать с котиком. Поэтому наибольшее число свободных стульев — \(\boxed{60}\).