Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[ \boxed{\text{а) }1;\quad \text{б) }\frac12;\quad \text{в) }\frac18;\quad \text{г) }0;\quad \text{д) }\frac{\sqrt2}{2}} \]
Решение
а) Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1. \]
Значит,
\[ \cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}=1. \]
б) Формула произведения синусов:
\[ 2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta). \]
\[ 2\sin15^\circ\sin75^\circ =\cos(-60^\circ)-\cos90^\circ =\cos60^\circ-0=\frac12. \]
в) Обозначим
\[ P=\sin10^\circ\sin50^\circ\sin70^\circ. \]
Сначала:
\[ 2\sin50^\circ\sin70^\circ =\cos(-20^\circ)-\cos120^\circ =\cos20^\circ+\frac12. \]
Тогда
\[ 4P=2\sin10^\circ\left(\cos20^\circ+\frac12\right). \]
Используем формулу
\[ 2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b): \]
\[ 4P=2\sin10^\circ\cos20^\circ+\sin10^\circ \]
\[ =\sin30^\circ+\sin(-10^\circ)+\sin10^\circ =\frac12. \]
Следовательно,
\[ P=\frac18. \]
г) Формула суммы косинусов:
\[ \cos\alpha+\cos\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
\[ \cos105^\circ+\cos75^\circ =2\cos90^\circ\cos15^\circ=0. \]
д) Формула разности косинусов:
\[ \cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
\[ \cos15^\circ-\cos75^\circ =-2\sin45^\circ\sin(-30^\circ) \]
\[ =2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2}{2}. \]
Проверка: \(\cos105^\circ=-\cos75^\circ\), поэтому в пункте г) сумма действительно равна нулю; в пункте в) произведение примерно равно \(0{,}125=\frac18\).
Обсуждение
4 сообщенияПожалуйста кыргызкому языку
Албетте, кыргызча чечилиши:
\[ \boxed{\text{а) }1;\quad \text{б) }\frac12;\quad \text{в) }\frac18;\quad \text{г) }0;\quad \text{д) }\frac{\sqrt2}{2}} \]
Чечүү
а) Негизги тригонометриялык барабардыкты колдонобуз:
\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1. \]
Ошондуктан
\[ \cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}=1. \]
б) Көбөйтүндүнү суммага айландыруу формуласын колдонобуз:
\[ 2\sin\alpha\sin\beta =\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta). \]
\[ 2\sin15^\circ\sin75^\circ =\cos(-60^\circ)-\cos90^\circ =\frac12-0=\frac12. \]
в)
\[ P=\sin10^\circ\sin50^\circ\sin70^\circ \]
деп белгилейли.
\[ 2\sin50^\circ\sin70^\circ =\cos20^\circ-\cos120^\circ =\cos20^\circ+\frac12. \]
Демек,
\[ 4P=2\sin10^\circ\left(\cos20^\circ+\frac12\right). \]
\[ 4P=2\sin10^\circ\cos20^\circ+\sin10^\circ. \]
Формула боюнча:
\[ 2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b). \]
Ошондуктан
\[ 4P=\sin30^\circ+\sin(-10^\circ)+\sin10^\circ =\frac12. \]
Демек,
\[ P=\frac18. \]
г) Косинустардын суммасынын формуласын колдонобуз:
\[ \cos\alpha+\cos\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
\[ \cos105^\circ+\cos75^\circ =2\cos90^\circ\cos15^\circ=0. \]
д) Косинустардын айырмасынын формуласы:
\[ \cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
\[ \cos15^\circ-\cos75^\circ =-2\sin45^\circ\sin(-30^\circ). \]
\[ =2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2}{2}. \]
Жооптор:
\[ \boxed{1;\ \frac12;\ \frac18;\ 0;\ \frac{\sqrt2}{2}} \]
Даяр кылып тетрадка жаза турган кыоып иштеп бер
Чыгарылышы
а) Негизги тригонометриялык теңдештикти колдонобуз:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \]
\[ \cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}=1 \]
Жообу: \(\boxed{1}\)
б)
\[ 2\sin15^\circ\sin75^\circ =\cos(15^\circ-75^\circ)-\cos(15^\circ+75^\circ) \]
\[ =\cos(-60^\circ)-\cos90^\circ =\cos60^\circ-0 =\frac12 \]
Жообу: \(\boxed{\frac12}\)
в)
\[ P=\sin10^\circ\sin50^\circ\sin70^\circ \]
\[ 2\sin50^\circ\sin70^\circ =\cos(50^\circ-70^\circ)-\cos(50^\circ+70^\circ) \]
\[ =\cos(-20^\circ)-\cos120^\circ =\cos20^\circ+\frac12 \]
Ошондуктан:
\[ 4P=2\sin10^\circ\left(\cos20^\circ+\frac12\right) \]
\[ 4P=2\sin10^\circ\cos20^\circ+\sin10^\circ \]
\[ 4P=\sin30^\circ+\sin(-10^\circ)+\sin10^\circ \]
\[ 4P=\frac12-\sin10^\circ+\sin10^\circ=\frac12 \]
\[ P=\frac18 \]
Жообу: \(\boxed{\frac18}\)
г)
\[ \cos105^\circ+\cos75^\circ =2\cos\frac{105^\circ+75^\circ}{2} \cos\frac{105^\circ-75^\circ}{2} \]
\[ =2\cos90^\circ\cos15^\circ=0 \]
Жообу: \(\boxed{0}\)
д)
\[ \cos15^\circ-\cos75^\circ =-2\sin\frac{15^\circ+75^\circ}{2} \sin\frac{15^\circ-75^\circ}{2} \]
\[ =-2\sin45^\circ\sin(-30^\circ) \]
\[ =2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2}{2} \]
Жообу: \(\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}\)
Жооптор:
\[ \boxed{1;\ \frac12;\ \frac18;\ 0;\ \frac{\sqrt2}{2}} \]
