х³-169 / х²+14х >0 реши интервалов
Решение неравенства
Я вижу, что работаю с неравенством \(\frac{x^3-169}{x^2+14x}>0\). Сначала я разложу знаменатель как \(x(x+14)\), а числитель содержит \(x^3 - 169\). Кубический корень из 169 примерно равен 5.528, что является моей критической точкой. Для числителя я могу использовать разложение вида \((x-a)(x^2+ax+a^2)\). Квадратичный множитель всегда положителен при \(a>0\), поэтому мне следует сосредоточиться на критических точках \(-14\), \(0\) и \(a\).
Составление таблицы знаков
Мне нужно составить таблицу знаков и начать с краткого ответа. Сначала я сохраню «x» как \(x\), учитывая русский контекст. Мне нужно будет указать область определения, отметив, что \(x \neq -14, 0\). Критические точки расположены в порядке \(-14 < 0 < \sqrt[3]{169}\), и я хочу убедиться, что это верно: поскольку \(5^3 = 125\), а \(6^3 = 216\), это действительно так. Далее я сформулирую интервалы. Я проверю тестовые значения для подтверждения.
Краткий ответ: \[ \boxed{x\in(-14;0)\cup\left(\sqrt[3]{169};+\infty\right)} \]
Понимаем запись как \[ \frac{x^3-169}{x^2+14x}>0. \]
- Найдём критические точки:
\[ x^2+14x=x(x+14)=0 \Rightarrow x=-14,\;0. \]
Эти значения исключаются из ОДЗ.
\[ x^3-169=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{169}. \]
- Расставим точки: \[ -14<0<\sqrt[3]{169}. \]
Знаки на интервалах:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-14)&(-14;0)&(0;\sqrt[3]{169})& (\sqrt[3]{169};+\infty)\\ \hline \dfrac{x^3-169}{x(x+14)}&-&+&-&+ \end{array} \]
Берём интервалы, где дробь положительна:
\[ \boxed{(-14;0)\cup\left(\sqrt[3]{169};+\infty\right)}. \]
Точки \(-14\), \(0\) не входят в ОДЗ, а \(\sqrt[3]{169}\) не входит, потому что неравенство строгое.
