Пришли, пожалуйста, крупный фрагмент изображения с условием 1.1 — сейчас сам текст задания не виден.

Бұл — алдыңғы сұралған 1.1 тапсырмасының жалғасы.

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ 3&6&-2&5\\ 1&0&6&4\\ 2&3&5&1 \end{vmatrix}, \qquad i=4,\quad j=1. \]

Сондықтан \(a_{i2}=a_{42}=3\), \(a_{3j}=a_{31}=1\).

а) Минорлар мен алгебралық толықтауыштар

\[ M_{42}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 3&-2&5\\ 1&6&4 \end{vmatrix} =-24. \]

\[ A_{42}=(-1)^{4+2}M_{42}=-24. \]

\[ M_{31}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 6&-2&5\\ 3&5&1 \end{vmatrix} =-45. \]

\[ A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=-45. \]

б) Анықтауышты үш тәсілмен есептеу

1) \(i\)-жолы, яғни 4-жол бойынша

Қажетті алгебралық толықтауыштар:

\[ A_{41}=-10,\qquad A_{42}=-24,\qquad A_{43}=-17,\qquad A_{44}=28. \]

Сонда

\[ \begin{aligned} \Delta &=2A_{41}+3A_{42}+5A_{43}+1A_{44}\\ &=2(-10)+3(-24)+5(-17)+1\cdot28\\ &=-20-72-85+28\\ &=-149. \end{aligned} \]

2) \(j\)-бағаны, яғни 1-баған бойынша

\[ A_{11}=-198,\qquad A_{21}=38,\qquad A_{31}=-45,\qquad A_{41}=-10. \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=1A_{11}+3A_{21}+1A_{31}+2A_{41}\\ &=1(-198)+3(38)+1(-45)+2(-10)\\ &=-149. \end{aligned} \]

3) 4-жолда алдын ала нөлдер алу

Бағандарға түрлендіру жасаймыз:

\[ C_1\to C_1-2C_4,\qquad C_2\to C_2-3C_4,\qquad C_3\to C_3-5C_4. \]

Бұл кезде анықтауыш өзгермейді:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ -7&-9&-27&5\\ -7&-12&-14&4\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix}. \]

4-жол бойынша жіктесек:

\[ \begin{aligned} \Delta &= \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -7&-9&-27\\ -7&-12&-14 \end{vmatrix}\\ &=1(126-324)-(98-189)-2(84-63)\\ &=-149. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\Delta=-149} \]

Әрине, қадамдап түсіндірейін. Алдыңғы есептегі анықтауыш:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ 3&6&-2&5\\ 1&0&6&4\\ 2&3&5&1 \end{vmatrix}, \qquad i=4,\quad j=1. \]

1. Индекстер бойынша элементтерді табу

\(i=4\), сондықтан

\[ a_{i2}=a_{42}. \]

Бұл — 4-жолдың 2-бағанындағы элемент:

\[ a_{42}=3. \]

Ал \(j=1\), сондықтан

\[ a_{3j}=a_{31}. \]

Бұл — 3-жолдың 1-бағанындағы элемент:

\[ a_{31}=1. \]

---

2. Минор мен алгебралық толықтауыш

Минор дегеніміз не?

\(M_{ij}\) минорын табу үшін матрицадан \(i\)-жолды және \(j\)-бағанды алып тастаймыз.

Алгебралық толықтауыш формуласы

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. \]

Таңбалар кестесі:

\[ \begin{pmatrix} +&-&+&-\\ -&+&-&+\\ +&-&+&-\\ -&+&-&+ \end{pmatrix} \]

---

3. \(M_{42}\) және \(A_{42}\)

\(M_{42}\) табу үшін 4-жолды және 2-бағанды алып тастаймыз:

\[ M_{42}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 3&-2&5\\ 1&6&4 \end{vmatrix}. \]

Үшінші ретті анықтауыш формуласы:

\[ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&k \end{vmatrix} = a(ek-fh)-b(dk-fg)+c(dh-eg). \]

Сонда:

\[ \begin{aligned} M_{42} &=1\bigl((-2)\cdot4-5\cdot6\bigr) -(-2)\bigl(3\cdot4-5\cdot1\bigr) +0\\ &=1(-8-30)+2(12-5)\\ &=-38+14\\ &=-24. \end{aligned} \]

Енді алгебралық толықтауыш:

\[ A_{42}=(-1)^{4+2}M_{42}. \]

\(4+2=6\), ал жұп сан үшін таңба — «+»:

\[ A_{42}=(-1)^6\cdot(-24)=-24. \]

Демек,

\[ \boxed{M_{42}=-24,\qquad A_{42}=-24}. \]

---

4. \(M_{31}\) және \(A_{31}\)

\(M_{31}\) табу үшін 3-жолды және 1-бағанды алып тастаймыз:

\[ M_{31}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 6&-2&5\\ 3&5&1 \end{vmatrix}. \]

Есептейміз:

\[ \begin{aligned} M_{31} &=1\bigl((-2)\cdot1-5\cdot5\bigr) -(-2)\bigl(6\cdot1-5\cdot3\bigr)+0\\ &=1(-2-25)+2(6-15)\\ &=-27+2(-9)\\ &=-27-18\\ &=-45. \end{aligned} \]

Алгебралық толықтауыш:

\[ A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}. \]

\(3+1=4\), бұл жұп сан:

\[ A_{31}=(-1)^4\cdot(-45)=-45. \]

Демек,

\[ \boxed{M_{31}=-45,\qquad A_{31}=-45}. \]

---

5. Анықтауышты 4-жол бойынша жіктеу

Анықтауышты 4-жол бойынша есептеу үшін 4-жолдағы барлық элементтердің алгебралық толықтауыштарын табамыз:

\[ \Delta=a_{41}A_{41}+a_{42}A_{42}+a_{43}A_{43}+a_{44}A_{44}. \]

4-жол:

\[ a_{41}=2,\qquad a_{42}=3,\qquad a_{43}=5,\qquad a_{44}=1. \]

\(A_{41}\)

\[ M_{41}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 6&-2&5\\ 0&6&4 \end{vmatrix}. \]

\[ \begin{aligned} M_{41} &=1\bigl((-2)\cdot4-5\cdot6\bigr) -(-2)\bigl(6\cdot4-5\cdot0\bigr)\\ &=-38+48\\ &=10. \end{aligned} \]

\[ A_{41}=(-1)^{4+1}M_{41}=-10. \]

\(A_{42}\)

Бұрын таптық:

\[ A_{42}=-24. \]

\(A_{43}\)

\[ M_{43}= \begin{vmatrix} 1&1&0\\ 3&6&5\\ 1&0&4 \end{vmatrix}. \]

\[ \begin{aligned} M_{43} &=1(6\cdot4-5\cdot0) -1(3\cdot4-5\cdot1)+0\\ &=24-7\\ &=17. \end{aligned} \]

\(4+3=7\), тақ сан, сондықтан:

\[ A_{43}=(-1)^7\cdot17=-17. \]

\(A_{44}\)

\[ M_{44}= \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ 3&6&-2\\ 1&0&6 \end{vmatrix}. \]

\[ \begin{aligned} M_{44} &=1\bigl(6\cdot6-(-2)\cdot0\bigr) -1\bigl(3\cdot6-(-2)\cdot1\bigr)\\ &\quad+(-2)(3\cdot0-6\cdot1)\\ &=36-20+12\\ &=28. \end{aligned} \]

\(4+4=8\), жұп сан:

\[ A_{44}=28. \]

Енді анықтауыш:

\[ \begin{aligned} \Delta &=2A_{41}+3A_{42}+5A_{43}+1A_{44}\\ &=2(-10)+3(-24)+5(-17)+1\cdot28\\ &=-20-72-85+28\\ &=-149. \end{aligned} \]

Сонымен,

\[ \boxed{\Delta=-149}. \]

---

6. Анықтауышты 1-баған бойынша тексеру

1-баған бойынша жіктесек:

\[ \Delta=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41}. \]

Қажетті толықтауыштар:

\[ A_{11}=-198,\qquad A_{21}=38,\qquad A_{31}=-45,\qquad A_{41}=-10. \]

Сонда:

\[ \begin{aligned} \Delta &=1(-198)+3(38)+1(-45)+2(-10)\\ &=-198+114-45-20\\ &=-149. \end{aligned} \]

Тағы да:

\[ \boxed{\Delta=-149}. \]

---

7. Нөлдер арқылы есептеу

4-жолда нөлдер жасау үшін бағандарға түрлендіру енгіземіз:

\[ C_1\to C_1-2C_4, \]

\[ C_2\to C_2-3C_4, \]

\[ C_3\to C_3-5C_4. \]

Бір бағанға басқа бағанның еселігін қосу немесе азайту анықтауышты өзгертпейді.

Нәтижесінде:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ -7&-9&-27&5\\ -7&-12&-14&4\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix}. \]

Енді 4-жол бойынша жіктеу өте оңай, себебі тек бір ғана нөл емес элемент бар:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -7&-9&-27\\ -7&-12&-14 \end{vmatrix}. \]

Есептейміз:

\[ \begin{aligned} \Delta &=1\bigl((-9)(-14)-(-27)(-12)\bigr)\\ &\quad-1\bigl((-7)(-14)-(-27)(-7)\bigr)\\ &\quad+(-2)\bigl((-7)(-12)-(-9)(-7)\bigr)\\ &=(126-324)-(98-189)-2(84-63)\\ &=-198+91-42\\ &=-149. \end{aligned} \]

Барлық үш тәсіл бірдей нәтиже береді:

\[ \boxed{\Delta=-149}. \]

Қысқаша жауап:

\[ \boxed{a_{42}=3,\quad a_{31}=1} \]

\[ \boxed{M_{42}=-24,\quad A_{42}=-24} \]

\[ \boxed{M_{31}=-45,\quad A_{31}=-45} \]

\[ \boxed{\Delta=-149}. \]

Жарайды, 1.1-ді қайтадан дұрыс әрі ретімен шығарайық.

Берілгені:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ 3&6&-2&5\\ 1&0&6&4\\ 2&3&5&1 \end{vmatrix}, \qquad i=4,\quad j=1. \]

1. Қажетті элементтер

\[ a_{i2}=a_{42}=3, \qquad a_{3j}=a_{31}=1. \]

---

2. \(M_{42}\) және \(A_{42}\)

4-жол мен 2-бағанды алып тастаймыз:

\[ M_{42}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 3&-2&5\\ 1&6&4 \end{vmatrix}. \]

Үшінші ретті анықтауыш формуласы бойынша:

\[ \begin{aligned} M_{42} &=1((-2)\cdot4-5\cdot6) -(-2)(3\cdot4-5\cdot1)\\ &=-38+14=-24. \end{aligned} \]

Алгебралық толықтауыш:

\[ A_{42}=(-1)^{4+2}M_{42}=(-1)^6(-24)=-24. \]

\[ \boxed{M_{42}=-24,\qquad A_{42}=-24} \]

---

3. \(M_{31}\) және \(A_{31}\)

3-жол мен 1-бағанды алып тастаймыз:

\[ M_{31}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 6&-2&5\\ 3&5&1 \end{vmatrix}. \]

\[ \begin{aligned} M_{31} &=1((-2)\cdot1-5\cdot5) -(-2)(6\cdot1-5\cdot3)\\ &=-27-18=-45. \end{aligned} \]

\[ A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=(-1)^4(-45)=-45. \]

\[ \boxed{M_{31}=-45,\qquad A_{31}=-45} \]

---

4. Анықтауышты 4-жол бойынша есептеу

4-жолдың алгебралық толықтауыштары:

\[ A_{41}=-10,\qquad A_{42}=-24,\qquad A_{43}=-17,\qquad A_{44}=28. \]

Сондықтан:

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{41}A_{41}+a_{42}A_{42} +a_{43}A_{43}+a_{44}A_{44}\\ &=2(-10)+3(-24)+5(-17)+1\cdot28\\ &=-20-72-85+28\\ &=-149. \end{aligned} \]

---

5. 1-баған бойынша тексеру

1-бағанның толықтауыштары:

\[ A_{11}=-198,\qquad A_{21}=38,\qquad A_{31}=-45,\qquad A_{41}=-10. \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21} +a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41}\\ &=1(-198)+3(38)+1(-45)+2(-10)\\ &=-198+114-45-20\\ &=-149. \end{aligned} \]

---

6. Нөлдер арқылы есептеу

4-жолда нөлдер жасау үшін:

\[ C_1\to C_1-2C_4,\qquad C_2\to C_2-3C_4,\qquad C_3\to C_3-5C_4. \]

Анықтауыш өзгермейді:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ -7&-9&-27&5\\ -7&-12&-14&4\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix}. \]

4-жол бойынша жіктейміз:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -7&-9&-27\\ -7&-12&-14 \end{vmatrix}. \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=1(126-324)-(98-189)-2(84-63)\\ &=-198+91-42\\ &=-149. \end{aligned} \]

Соңғы жауап:

\[ \boxed{a_{42}=3,\qquad a_{31}=1} \]

\[ \boxed{M_{42}=-24,\quad A_{42}=-24} \]

\[ \boxed{M_{31}=-45,\quad A_{31}=-45} \]

\[ \boxed{\Delta=-149} \]

Әрине. «Нөлдер арқылы есептеу» дегеніміз — анықтауыштың бір жолында немесе бағанында нөлдер жасап, сол жол/баған бойынша жіктеу.

Берілген анықтауыш:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ 3&6&-2&5\\ 1&0&6&4\\ 2&3&5&1 \end{vmatrix}. \]

1-қадам. Нөлдер жасайтын жолды таңдау

4-жолға қараймыз:

\[ (2,\;3,\;5,\;1). \]

4-бағанның 4-жолдағы элементі \(1\)-ге тең. Сондықтан 4-жолдың алғашқы үш элементін нөлге айналдыру ыңғайлы.

Ол үшін бағандарға мынадай түрлендіру жасаймыз:

\[ C_1\to C_1-2C_4, \]

\[ C_2\to C_2-3C_4, \]

\[ C_3\to C_3-5C_4. \]

Мұндағы \(C_1,C_2,C_3,C_4\) — матрицаның бағандары.

Бір бағанға басқа бағанның еселігін қосу немесе азайту анықтауыштың мәнін өзгертпейді.

---

2-қадам. Неліктен нөлдер пайда болады?

4-жолдағы жаңа элементтерді есептейміз:

Бірінші бағанда:

\[ 2-2\cdot1=0. \]

Екінші бағанда:

\[ 3-3\cdot1=0. \]

Үшінші бағанда:

\[ 5-5\cdot1=0. \]

Ал төртінші баған өзгермейді, сондықтан соңғы элемент \(1\) болып қалады:

\[ (0,\;0,\;0,\;1). \]

Толық түрлендірілген матрица:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2&0\\ -7&-9&-27&5\\ -7&-12&-14&4\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix}. \]

Мысалы, бірінші баған былай шықты:

\[ C_1= \begin{pmatrix} 1\\3\\1\\2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 0\\5\\4\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-7\\-7\\0 \end{pmatrix}. \]

---

3-қадам. Нөлдері бар 4-жол бойынша жіктеу

4-жолда үш нөл бар:

\[ (0,\;0,\;0,\;1). \]

Сондықтан тек соңғы элемент қана есепке алынады:

\[ \Delta= 1\cdot(-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -7&-9&-27\\ -7&-12&-14 \end{vmatrix}. \]

\[ (-1)^{4+4}=(-1)^8=1. \]

Демек:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ -7&-9&-27\\ -7&-12&-14 \end{vmatrix}. \]

Яғни 4-ретті анықтауыш 3-ретті анықтауышқа айналды.

---

4-қадам. 3-ретті анықтауышты есептеу

Формула:

\[ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg). \]

Біздің жағдайда:

\[ \begin{aligned} \Delta &=1\bigl((-9)(-14)-(-27)(-12)\bigr)\\ &\quad-1\bigl((-7)(-14)-(-27)(-7)\bigr)\\ &\quad+(-2)\bigl((-7)(-12)-(-9)(-7)\bigr). \end{aligned} \]

Енді әр бөлігін есептейміз:

\[ (-9)(-14)-(-27)(-12)=126-324=-198, \]

\[ (-7)(-14)-(-27)(-7)=98-189=-91, \]

\[ (-7)(-12)-(-9)(-7)=84-63=21. \]

Сонда:

\[ \begin{aligned} \Delta &=-198-(-91)+(-2)\cdot21\\ &=-198+91-42\\ &=-149. \end{aligned} \]

Жауабы:

\[ \boxed{\Delta=-149} \]

Негізгі идея: 4-жолдың алғашқы үш элементін нөлге айналдырдық, содан кейін анықтауышты сол жол бойынша есептедік.