4+3х-х²/х²-12+36 ≤0 реши методом интервалов

Решим неравенство

\[ \frac{4+3x-x^2}{x^2-12x+36}\le 0. \]

1. Разложим на множители

\[ 4+3x-x^2=-(x^2-3x-4)=-(x-4)(x+1), \]

\[ x^2-12x+36=(x-6)^2. \]

Получаем:

\[ \frac{-(x-4)(x+1)}{(x-6)^2}\le 0. \]

2. Найдём нули и ОДЗ

\[ x=-1,\quad x=4 \]

— нули числителя.

\[ x=6 \]

— ноль знаменателя, поэтому \(x=6\) исключаем.

Критические точки:

\[ -1,\quad 4,\quad 6. \]

3. Метод интервалов

Так как \((x-6)^2>0\) при \(x\ne6\), знак дроби определяется числителем:

\[ -(x-4)(x+1). \]

Знаки:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-1) & (-1;4) & (4;6) & (6;+\infty)\\ \hline \frac{4+3x-x^2}{(x-6)^2} & - & + & + & - \end{array} \]

Нужно взять промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Точки \(-1\) и \(4\) включаем, а \(6\) исключаем.

\[ \boxed{x\in(-\infty;-1]\cup[4;6)\cup(6;+\infty)} \]