Методом гауса

Краткий ответ:
\[ \boxed{x=1,\quad y=2,\quad z=-1} \]

Перенесём свободные члены вправо:

\[ \begin{cases} 4x-3y+2z=-4,\\ 6x-2y+3z=-1,\\ 5x-3y+2z=-3. \end{cases} \]

Составим расширенную матрицу:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 4&-3&2&-4\\ 6&-2&3&-1\\ 5&-3&2&-3 \end{array} \right). \]

Обнулим элементы под первым \(x\):

\[ R_2\leftarrow 2R_2-3R_1,\qquad R_3\leftarrow 4R_3-5R_1. \]

Получим:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 4&-3&2&-4\\ 0&5&0&10\\ 0&3&-2&8 \end{array} \right). \]

Теперь решаем полученную систему снизу вверх:

\[ 5y=10 \quad\Rightarrow\quad y=2. \]

\[ 3y-2z=8. \]

Подставим \(y=2\):

\[ 3\cdot2-2z=8 \Rightarrow 6-2z=8 \Rightarrow z=-1. \]

Подставим \(y=2,\ z=-1\) в первое уравнение:

\[ 4x-3\cdot2+2\cdot(-1)=-4, \]

\[ 4x-8=-4 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1. \]

Проверка:

\[ 4-6-2+4=0, \]

\[ 6-4-3+1=0, \]

\[ 5-6-2+3=0. \]

Все равенства верны. Метод Гаусса основан на последовательном исключении неизвестных с помощью преобразований строк, которые не меняют множество решений системы.