(х³-64х)(2х-3)³<0 реши методом интервалов

Ответ: \[ x\in(-8;0)\cup\left(\frac32;8\right). \]

Решение методом интервалов

Разложим на множители: \[ (x^3-64x)(2x-3)^3<0, \] \[ x(x-8)(x+8)(2x-3)^3<0. \]

Найдём нули множителей: \[ x=-8,\quad x=0,\quad x=\frac32,\quad x=8. \]

Отметим их на числовой прямой: \[ -8\quad 0\quad \frac32\quad 8. \]

Все корни нечётной кратности, поэтому при переходе через каждый из них знак выражения меняется. При \(x>8\) выражение положительно, значит знаки на интервалах чередуются:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-8)&(-8;0)&(0;\frac32)&(\frac32;8)&(8;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&-&+&-&+ \end{array} \]

Нужно выбрать промежутки, где выражение меньше нуля: \[ \boxed{x\in(-8;0)\cup\left(\frac32;8\right)}. \]

Корни не включаются, так как неравенство строгое: \(<0\).