Реши задание на изображении
Разбор математических выражений
Мне нужно внимательно разобрать выражение: y/(x-y) - (x^3 - xy^2)/(x^2+y^2) · (x/(x-y)^2 - y/(x^2-y^2)). Оно кажется сложным, и каждая его часть, вероятно, включает разные операции. Я сосредоточусь на выделении каждого компонента и понимании того, как они взаимодействуют. Крайне важно сделать всё правильно, поэтому я внимательно рассмотрю структуру компонентов и буду упрощать их шаг за шагом. Приступим!
Уточнение вычислений
Я сосредоточен на предоставлении конкретного ответа относительно систем, стараясь при этом не повторять ничего из исходного. Мне нужно убедиться, что количество символов не превышает 60.
Итак, для первой части я вычисляю общий знаменатель для второго числителя, и общие члены выглядят правильно.
При разложении второй части я получаю правильные знаменатели. Разложение уравнений также, похоже, выполнено верно, так что аккуратно завершим это!
Проверка форматирования вывода
Я проверяю, что длина моего вывода выглядит умеренной. Хочу убедиться, что последняя строка после всего остального будет написана правильно. Мне нужно убедиться, что на следующей строке нет Markdown, поскольку сказано, что содержимое после маркера не является его частью. Я прослежу, чтобы необходимый текст был представлен без проблем с форматированием. Сделаем всё ясным и понятным!
Краткий ответ
59.
а) \(\boxed{1}\);
б) \(\boxed{-1}\).
60.
а) \(\boxed{(16;15),\;(-15;-16)}\);
б) \(\boxed{(4;-7),\;(8;1)}\).
59. Упростите выражение
а)
ОДЗ: \(a\ne b\), \(a\ne -b\).
Разложим разность квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad 2a+2b=2(a+b). \]
Тогда
\[ \frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}. \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab+a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}. \]
\[ = \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{2(a-b)}. \]
Подставим в исходное выражение:
\[ \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}. \]
\[ \frac{a-b}{a-b}=\boxed{1}. \]
б)
ОДЗ: \(x\ne y\), \(x\ne -y\).
Разложим на множители:
\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y), \]
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Сначала упростим выражение в скобках:
\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} = \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}. \]
Общий знаменатель — \((x-y)^2(x+y)\):
\[ \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]
\[ = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]
Теперь:
\[ \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x(x-y)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x}{x-y}. \]
Следовательно,
\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y} = \boxed{-1}. \]
60. Решите системы уравнений
а)
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=240. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x=y+1. \]
Подставим во второе:
\[ y(y+1)=240, \]
\[ y^2+y-240=0. \]
Разложим на множители:
\[ (y+16)(y-15)=0. \]
Отсюда:
\[ y=15 \quad\text{или}\quad y=-16. \]
Тогда:
- если \(y=15\), то \(x=16\);
- если \(y=-16\), то \(x=-15\).
Ответ:
\[ \boxed{(16;15),\;(-15;-16)}. \]
Проверка:
\[ 16-15=1,\quad 16\cdot15=240; \]
\[ -15-(-16)=1,\quad (-15)(-16)=240. \]
б)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ 2x-y=15. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ y=2x-15. \]
Подставим в первое:
\[ x^2+(2x-15)^2=65. \]
\[ x^2+4x^2-60x+225=65, \]
\[ 5x^2-60x+160=0. \]
Разделим на \(5\):
\[ x^2-12x+32=0. \]
\[ (x-4)(x-8)=0. \]
Отсюда:
\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=8. \]
Тогда:
- при \(x=4\): \(y=2\cdot4-15=-7\);
- при \(x=8\): \(y=2\cdot8-15=1\).
Ответ:
\[ \boxed{(4;-7),\;(8;1)}. \]
Проверка:
\[ 4^2+(-7)^2=65,\quad 2\cdot4-(-7)=15; \]
\[ 8^2+1^2=65,\quad 2\cdot8-1=15. \]
