Сделай конспект
Кратко
Стандартный вид числа:
\[ N=a\cdot10^n,\qquad 1\le a<10,\quad n\in\mathbb Z. \]
Число \(n\) называют порядком числа.
Например:
\[ 2300000000=2{,}3\cdot10^9, \]
\[ 0{,}000000023=2{,}3\cdot10^{-8}. \]
Как записать число в стандартном виде
- Перенесите запятую так, чтобы слева осталась одна ненулевая цифра.
- Посчитайте количество переносов.
- Если запятую переносили влево, показатель степени положительный.
- Если запятую переносили вправо, показатель степени отрицательный.
Примеры:
\[ 560000=5{,}6\cdot10^5; \]
\[ 0{,}0000041=4{,}1\cdot10^{-6}. \]
Обратная проверка:
\[ 2{,}3\cdot10^9=2\,300\,000\,000. \]
Действия со степенями
\[ 10^m\cdot10^n=10^{m+n}; \]
\[ \frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}; \]
\[ (10^m)^n=10^{mn}. \]
При умножении чисел в стандартном виде:
\[ (a\cdot10^m)(b\cdot10^n)=ab\cdot10^{m+n}. \]
После вычислений коэффициент снова должен находиться в пределах \(1\le a<10\).
Размеры объектов
- \(1\) нанометр:
\[ 1\text{ нм}=10^{-9}\text{ м}. \]
- \(1\) ангстрем:
\[ 1\text{ Å}=10^{-10}\text{ м}. \]
- Размер вирусов \(20\text{–}300\) нм:
\[ 20\text{ нм}=2\cdot10^{-8}\text{ м}, \]
\[ 300\text{ нм}=3\cdot10^{-7}\text{ м}. \]
- Размер частиц SARS-CoV-2 \(100\text{–}120\) нм:
\[ 100\text{ нм}=1\cdot10^{-7}\text{ м}, \]
\[ 120\text{ нм}=1{,}2\cdot10^{-7}\text{ м}. \]
- Атом углерода \(0{,}7\) Å:
\[ 0{,}7\cdot10^{-10}=7\cdot10^{-11}\text{ м}. \]
- Радиус Юпитера:
\[ r=7{,}14\cdot10^7\text{ м}. \]
Длительность процессов и скорости
- \(1\) зептосекунда:
\[ 1\text{ зс}=10^{-21}\text{ с}. \]
- \(247\) зептосекунд:
\[ 247\cdot10^{-21} =2{,}47\cdot10^{-19}\text{ с}. \]
- Скорость полёта сапсана:
\[ 360\text{ км/ч}=3{,}6\cdot10^5\text{ м/ч}. \]
- Скорость морского конька:
\[ 1{,}5\text{ м/ч}. \]
Как решать задачи на время и расстояние
Основные формулы:
\[ s=vt,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}. \]
Например, частица движется со скоростью света:
\[ v\approx3\cdot10^8\text{ м/с},\qquad t=10^{-9}\text{ с}. \]
Тогда
\[ s=vt=3\cdot10^8\cdot10^{-9} =3\cdot10^{-1}\text{ м} =0{,}3\text{ м}=300\text{ мм}. \]
Если фотоаппарат делает \(6\cdot10^6\) кадров в секунду, время одного кадра:
\[ t=\frac1{6\cdot10^6} \approx1{,}67\cdot10^{-7}\text{ с}. \]
Так как \(1\text{ с}=10^9\) нс,
\[ t\approx166{,}7\text{ нс}. \]
Задания 59–61 на странице
Это повторение других тем:
- при упрощении дробно-рациональных выражений сначала находят ОДЗ, затем раскладывают на множители и сокращают только множители;
- системы уравнений решают подстановкой или сложением;
- при уравнениях с модулем используют определение:
\[ |x|= \begin{cases} x,\quad x\ge0,\\ -x,\quad x<0. \end{cases} \]
Главная проверка для всей темы: коэффициент в стандартном виде должен удовлетворять условию \(1\le a<10\), а единицы измерения должны быть приведены к нужным.
